|
Aide à la recherche | Recherche Avancée | Imprimer la fiche | Aidez-nous à améliorer cette fiche |
|
|
|
Titre : Bulletin de l'APMEP. N° 433. p. 204-218. Le théorème de Gauss dans les Eléments d'Euclide ?! Une belle application : pour tout entier n, racine carrée (n) est entier ou irrationnel
English title: The Gaussian theorem in Euclid's Elements?!. For all integers n, n is an integer or a irrational number. (ZDM/Mathdi)
Editeur : 
Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public (APMEP) Paris, 2001
Format : 17 cm x 24 cm, p. 204-218 ISSN : 0240-5709
Type : article de périodique ou revue Langue : Français Support : papier
Public visé : chercheur, enseignant, formateur
Classification : A39Revues, article de revue
Formation à l'enseignement, initiale et continue. F69Théorie des nombres
Formation à l'enseignement, initiale et continue.
L'auteur rappelle d'abord les enjeux épistémologiques du problème de l'irrationalité de racine de deux en tant que grandeur mesurant la diagonale d'un carré de coté 1. Une démonstration se trouve dans le livre X d'Euclide, mais des recherches récentes semblent montrer que cette démonstration n'a été introduite par des commentateurs qu'au IV siècle avant notre ère et serait inspirée d'une démonstration d'Aristote.
Le théorème de Gauss (si a est premier avec b et divise bc alors il divise c), théorème pivot de toute l'arithmétique élémentaire, permet de démontrer le fait plus général : racine de n est entier ou irrationnel.
L'auteur s'attache à montrer qu'un ensemble de propositions du livre VII d'Euclide, s'appuyant uniquement sur les propriétés de la division euclidienne et de l'algorithme d'Euclide, propositions qu'on pourrait résumer par le fait que toute fraction peut se mettre, de façon unique sous forme de fraction irréductible après "simplification", sont en fait équivalentes au théorème de Gauss.
Les démonstrations mises en jeu offrent un joli terrain pour l'apprentissage de la démonstration.
Notes :
Cet article est publié sous la rubrique "Dossier : L'arithmétique (Deuxième partie)" préfacée par Daniel Reisz (p. 173).
Le Bulletin de l'APMEP (appelé "Bulletin Vert") s'efforce, par des articles de fond : de couvrir l'actualité de l'enseignement des mathématiques de la maternelle à l'université, de contribuer à la formation approfondie des enseignants, d'entretenir, chez ceux-ci, l'esprit de recherche et de susciter des échanges avec ses lecteurs.
Il paraît 5 fois par an de sa création à 2018, année où suite à un changement de politique éditoriale, l'APMEP publie une revue unique Au Fil des Maths - le Bullletin de l'APMEP.
Mots clés :
|
|