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Titre : Bulletin de l'APMEP. N° 363. p. 135-150. Les avatars de l'axiome du choix. D'où vient-il ? Où se cache-t-il ? A quoi nous sert-il ?
English title: The metamorphoses of the axiom of choice (ZDM/Mathdi)
Deutscher Titel: Metamorphosen des Auswahlaxioms (ZDM/Mathdi)
Une version texte intégral est sur le site Bibliothèque numérique des IREM et de l'APMEP Télécharger
Editeur : 
Association des Professeurs de Mathématiques de l'enseignement Public (APMEP) Paris, 1988
Format : A5, p. 135-150 ISSN : 0240-5709
Type : article de périodique ou revue Langue : Français Support : papier
Public visé : chercheur, enseignant, formateur
Classification : A39Revues, article de revue
Formation à l'enseignement, initiale et continue. E29Aspects philosophiques des fondements des mathématiques
Formation à l'enseignement, initiale et continue. E69Théorie des ensembles
Formation à l'enseignement, initiale et continue.
Très controversé à ses débuts, l'axiome de choix joue un rôle important, bien qu'il soit méconnu dans la plupart des branches des mathématiques.
Une démonstration nécessite au départ des axiomes, des hypothèses, et des lettres appelées constantes de la démonstration. Peut-on en utiliser un nombre infini ? L'axiome du choix affirme qu'il est légitime d'utiliser une famille de constantes auxiliaires, indexées par un ensemble éventuellement infini. Autre énoncé : Le produit d'une famille non vide d'ensembles non vides est non vide.
L'auteur donne plusieurs exemples de l'utilisation de l'axiome de choix, en particulier des théorèmes sur les familles d'ensembles non vides, ou d'ensembles dénombrables, le principe de trichotomie (les cardinaux sont totalement ordonnés), le problème du "bon ordre". Les principes du maximum utilisés pour des énoncés affirmant l'existence d'éléments maximaux dans certains ensembles ordonnés sont parmi les conséquences les plus efficaces de l'axiome de choix.
Suit tout une liste de résultats liés à cet axiome.
Enfin, l'axiome du choix est-il légitime ? Les mathématiciens l'ont utilisé avant de le justifier. Après un bref historique citant Heine, Köenig puis Zermelo (qui a été amené à axiomatiser la théorie des ensembles, suite à la polémique sur cet axiome du choix) et enfin Gödel et Cohen qui ont montré que cet axiome est indécidable.
En faveur de cet axiome, il y a son efficacité, et pire encore, on l'utilise souvent sans s'en apercevoir.
Notes :
Cet article est publié sous la rubrique "Etudes".
Le Bulletin de l'APMEP (appelé "Bulletin Vert") s'efforce, par des articles de fond : de couvrir l'actualité de l'enseignement des mathématiques de la maternelle à l'université, de contribuer à la formation approfondie des enseignants, d'entretenir, chez ceux-ci, l'esprit de recherche et de susciter des échanges avec ses lecteurs.
Il paraît 5 fois par an de sa création à 2018, année où suite à un changement de politique éditoriale, l'APMEP publie une revue unique Au Fil des Maths - le Bullletin de l'APMEP.
Mots clés :
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