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Auteur(s) : Cuppens Roger

Titre : Découvrir les géométries non euclidiennes en jouant avec Cabri-Géomètre II. T. 1. Géométrie hyperbolique.

Editeur : APMEP Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public (APMEP), Cabrilog Paris, 2004 Collection : Publication de l'APMEP Num. 160
Format : 17 cm x 24 cm, 128 p. Bibliogr. p. 123, Index p. 124-126
ISBN : 2-912846-37-4  ISSN : 0291-0578

Type : ouvrage (au sens classique de l'édition) Langue : Français Support : papier

Public visé : élève ou étudiant, enseignant, formateur Matériel utilisé : Cabri-Géomètre

Classification : G90Divers (par exemple: les ensembles convexes, revêtements, mosaïques, géométries non-euclidiennes, géométries finies) U70Outils technologiques (ordinateurs, calculatrices, logiciels, applications, instruments mathématiques, tablettes, etc.). 

Résumé :

Comment illustrer au moyen de logiciel de géométrie dynamique des propriétés de géométrie non-euclidiennes ? C'est le pari entrepris par l'auteur. En effet comment un logiciel qui travaille forcément avec une représentation euclidienne du plan ou de l'espace peut-il être utilisé pour une découverte de géométries non-euclidiennes.
En fait tout repose sur l'existence de représentations euclidiennes de ces géométries. Dans ce tome, c'est une représentation de la géométrie hyperbolique qui est explorée alors que le tome 2 concerne la géométrie elliptique puis projective hyperbolique le sont.

La préface de l'ouvrage rappelle les méthodes et le point de vue de l'auteur sur l'enseignement des géométries non-euclidiennes :
- découvrir avec l'outil informatique des propriétés des figures géométriques sans, pour autant s'obliger à les démontrer (mais il y a souvent des idées pour cela...),
- représenter les objets de base (points, droites, cercles, ...) d'une géométrie non euclidienne comme des objets de la géométrie euclidienne. Pour cela, l'auteur donne d'abord les outils permettant de tracer ces objets et de réaliser les constructions de base.
Ensuite, il se demande quelles sont les propriétés des figures euclidiennes qui restent valables. Une annexe à la préface évoque ensuite l'itinéraire de l'auteur, l'évolution de sa pensée et des angles d'attaque. Il invite le lecteur à ne pas parcourir "linéairement" l'ouvrage, mais une fois acquis les outils de base, de découvrir lui-même son propre chemin.

Ce tome se compose de 15 chapitres :

Chapitre 1 (Introduction, 4 pages) : Euclide, Saccheri, Lambert et les précurseurs de la géométrie hyperbolique : Bolyai, Gauss, Lobatchevski ...
Les modèles euclidiens de cette géométrie :
- 1) le modèle de Klein (ou "Beltrami-Klein",
- 2) le modèle circulaire de Poincaré,
- 3) le demi-plan de Poincaré.
Au fil des chapitres, l'auteur précise :
- les intérêts respectifs de ces trois modèles,
- leurs liens (utilisation de "points associés" , passage du modèle circulaire de Poincaré au demi-plan de Poincaré par inversion ou lorsque le centre du cercle absolu s'éloigne à l'infini),
- l'éventuel intérêt de leur conjugaison.
Dans la suite de l'ouvrage, les études sont en général faites d'abord dans le modèle de Poincaré, puis étendues aux modèles de Klein et au demi-plan de Poincaré.

Chapitre 2 (8 pages) : Points et droites hyperboliques. Représentation des droites, segments et demi-droites ; parallélisme, intersection. En appelant " centre " d'une droite le centre de l'arc de cercle euclidien la représentant, caractérisation du parallélisme de deux droites et des faisceaux de droites à partir de leurs centres.

Chapitre 3 (6 pages) : Angles et droites perpendiculaires hyperboliques. Le modèle circulaire de Poincaré est "conforme" (c'est à dire : l'angle des demi-droites [AB) et [AC) est égal à l'angle des demi-tangentes en A aux arcs de cercle euclidiens correspondants et "deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs centres sont conjugués par rapport au cercle absolu"). Suivent les notions de perpendiculaire commune à deux droites parallèles et de bissectrice hyperbolique. Le demi-plan de Poincaré est lui aussi conforme puisque déductible par inversion (qui conserve les angles) du modèle circulaire de Poincaré. Par contre le modèle de Klein ne l'est pas, mais on peut obtenir une caractérisation des droites perpendiculaires dans ce modèle par un recours à la conjugaison pôle-polaire.

Chapitre 4 (10 pages) : Distance hyperbolique définie par des logarithmes népériens, avec son cortège de distances associées, la symétrie axiale, le birapport et la division harmonique hyperboliques...

Chapitre 5 (16 pages) : Cercles, cycles hyperboliques et une étude de deux familles aux propriétés parfois voisines :
-les "horocycles" centrés en un point du cercle absolu (donc "à l'infini") ;
-les "hypercycles" d'axe u et de rayon r, ensemble des points dont la distance à une droite u est égale à r.
Dans le modèle circulaire de Poincaré, les cercles, les horocycles et les hypercycles (que l'on peut désigner sous le nom général de "cycles") sont représentés par des cercles ou des arcs de cercle euclidiens. Ils le sont par des ellipses dans le modèle de Klein. Suivent les notions de tangente à un cycle, de pôles et polaires par rapport à un cycle, de cycles orthogonaux, de puissance par rapport à un cycle, d'axe radical, de faisceaux de cycles.
Chapitre 6 (18 pages) : Médiatrices et milieux hyperboliques, à partir des symétries centrales, avec débouchés sur les parallélogrammes hyperboliques, ...

Chapitre 7 (8 pages) : Constructions des triangles hyperboliques.

Chapitre 8 (12 pages) : Propriétés élémentaires des triangles hyperboliques, avec des notions de trigonométrie hyperbolique, les théorèmes de Céva et de Ménélaüs hyperboliques, ...

Chapitre 9 (4 pages) : Isométries hyperboliques, avec les produits de transformations et les "cas d'égalité" classiques.

Chapitre 10 (4 pages) : Polygones réguliers hyperboliques, avec des pavages du plan par des polygones réguliers, à la Escher !

Chapitre 11 (4 pages) : Longueurs et aires hyperboliques, cercles, triangles, polygones, formule de Héron...

Chapitre 12 (10 pages) : Coniques hyperboliques, avec des "lieux classiques".

Chapitre 13 (6 pages) : Constructions à la règle et au compas hyperboliques.

Chapitre 14 (4 pages) : Géométrie analytique hyperbolique.

Chapitre 15 (6 pages) : Cas limites pour le modèle circulaire de Poincaré : lorsque le centre du cercle absolu s'en va à l'infini, on obtient le demi-plan de Poincaré tandis que, lorsque le rayon devient infini, on obtient le cas euclidien.

L'ouvrage nécessite quelques prérequis : "Aux outils élémentaires du collège s'ajoutent les propriétés essentielles de l'inversion et, de préférence, celles des faisceaux de cercles, voire un peu d'homographie, d'involution, de logarithme népérien ... Ce sera aussi l'occasion de revoir pôles et polaires, birapport, conjugués harmoniques, des théorèmes comme ceux de Céva et Ménélaüs, ... et un minimum sur les coniques."

Notes :
Cette brochure est l'objet d'une présentation dans le Bulletin de l'APMEP n°453. Elle comporte, avec un sommaire détaillé, un aperçu sur le sommaire du Tome II (Géométrie elliptique - Géométrie projective hyperbolique) , une courte bibliographie, un index des macros et un index des sujets.

Mots clés :


© ADIREM-APMEP -2003- ISSN 1292-8054 Mise à jour 07/10/2018
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