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Auteur(s) : de Saint Julien Arnaud

Titre : Quadrature. N° 89. p. 17-22. Equation fonctionnelle et déterminant.

Editeur : Quadrature Revigny-sur-Ornain, 2013
Format : A4, p. 17-22 Bibliogr. p. 22-22
  ISSN : 1142-2785

Type : article de périodique ou revue, vulgarisation, popularisation Langue : Français Support : papier

Public visé : élève ou étudiant, enseignant, tout public Niveau Niveau scolaire visé par l'article : licence Age : 18, 19, 20

Classification : A35Revues, article de revue
Enseignement supérieur, Post-Bac
 A38Revues, article de revue
Enseignement « Hors les Murs » : par correspondance, formation des adultes, popularisation, etc.
 

Résumé :

La détermination des applications continues de R dans R qui vérifient pour tout (x,y) de R2, f(x+y)=f(x)+ f(y) s'effectue en deux temps. Par "trafics algébriques", on obtient successivement f(0)=0, f(n)=nf(1) pour n élément de Z, f(r)=r pour r élément de Q, puis par passage à la limite, f(x)=xf(1) pour tout x de R, en utilisant la densité de Q dans R. Les deux étapes sont de nature différente : la première est "mécanique» tandis que la seconde pourrait être qualifiée de "chimique", la continuité servant de catalyseur à la partie dense. Elles se résument par les propositions suivantes :
– un morphisme de groupes est entièrement déterminé par l'image de générateurs du groupe
– une application continue est entièrement déterminée par l'image d'une partie dense.

L'objet de ce texte est de mettre en lumière le parallèle remarquable existant entre les deux énoncés précédents. Le cadre choisi est l'étude des formes multiplicatives de Mn(K), c'est-à-dire des fonctions f de Mn(K) dans K vérifiant f(AB)=f(A)f(B) pour toutes matrices A et B de Mn(K). Le théorème principal affirme qu'elles s'expriment à l'aide du déterminant. En corollaire, nous obtenons une caractérisation fonctionnelle du déterminant. Pour mener à bien cette quête du générateur "atomique", qui nous conduira aux matrices de dilatations, nous utiliserons des outils divers tels que la généricité des matrices diagonalisables, les opérations élémentaires et la génération du groupe linéaire par transvections et dilatations.

Notes :
Quadrature est un magazine de mathématiques pures et appliquées. Il s’adresse aux enseignants, étudiants, ingénieurs et amateurs de mathématiques.
Tout internaute peut acheter le numéro en cours et les anciens numéros sur la site de la revue quadrature.info (ISSN de l'édition électronique : 1760-4826).

Une version texte intégral est en téléchargement sur le site http://desaintar.free.fr/

Mots clés :


© ADIREM-APMEP -2003- ISSN 1292-8054 Mise à jour 02/11/2019
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