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Auteur(s) : Bioesmat-Martagon Lise. Ed.

Titre : Eléments d'une biographie de l'espace projectif.

Editeur : Presses universitaires de Nancy Nancy, 2011 Collection : Histoires de géométries
Format : 20 cm x 26 cm, 316 p. Bibliogr. p. 276-281, Sources p. 310-312, Notes bibliogr.
ISBN : 2-8143-0032-6 EAN : 9782814300323

Type : ouvrage (au sens classique de l'édition) Langue : Français, Anglais, Multilingue Support : papier

Public visé : tout public

Classification : D30Histoire et épistémologie des mathématiques, époque classique (17ème et 18ème).
Général, difficile à classer
 D40Histoire et épistémologie des mathématiques, époque moderne (à partir du 19ème).
Général, difficile à classer
 G70Géométrie analytique. Géométrie vectorielle. Géométrie projective. géométrie affine. géométrie métrique.
Général, difficile à classer
 

Résumé : Abstract

Composé d'une introduction et de six textes de cinq auteurs différents, ce livre retrace la lente maturation de la géométrie projective, depuis la perspective de Desargues (XVIIème siècle) jusqu'aux axiomatisations du XXème siècle. Il est très agréablement présenté, avec de larges marges où on trouve de nombreuses figures soignées, très souvent reproductions d'originaux du XIXème siècle. Chacun des textes est suivi d'une abondante bibliographie, et du texte des citations dans leur langue originelle.
L'introduction de Lise Bioesmat-Martagon résume les étapes de l'émergence, à partir de l'ensemble d'outils "géométrie projective", de l'objet "espace projectif".
Dans On appellera espace projectif..., Philippe Lombard nous fait partager "le rêve de Desargues", "le rêve de Leibniz", "le rêve de Hilbert", à savoir, respectivement : codifier et théoriser les règles de la perspective ; parvenir à la compréhension des "éléments à l'infini" à travers la mise au point de formalismes calculatoires ; axiomatiser et formaliser la géométrie projective. Il conclut que celle-ci présente de multiples facettes : analytique, synthétique, topologique... ; qu'images et calculs y sont complémentaires plutôt que concurrents.
L'impulsion originelle de Poncelet dans l'invention de la géométrie projective, par Jean-Pierre Friedelmeyer, raconte et analyse de façon détaillée comment Poncelet, dans son "Traité des propriétés projectives des figures" (1822), deux siècles après Desargues et bien que ne connaissant ses résultats que de façon indirecte (le "Brouillon project" ne devait être retrouvé qu'en 1864), prolonge son œuvre de façon magistrale : identification des propriétés projectives, explicitation des objets (points ou droites) de l'infini, réorganisation logique... Outre des éléments biographiques (captivité de Poncelet en Russie), on trouve ici, à travers de nombreuses citations, figures et commentaires, l'essentiel des résultats et des démarches de Poncelet. Celui-ci dispute à Gergonne la paternité du concept de dualité ; il crée la notion et le mot d'homologie. Son théorème de clôture conduira ultérieurement à des développements inattendus et profonds, en relation avec la théorie des courbes elliptiques.
Sous le titre "Deux droites coplanaires sont sécantes", Philippe Nabonnand repart de Poncelet et évoque les apports de nombreux mathématiciens à la théorie : Steiner, Von Staudt, Pasch, Veblen, Young. Il met en relief l'importance centrale des points et droites de l'infini, qui garderont longtemps le statut d'éléments impropres ; celle des faisceaux et gerbes ; la marche vers l'axiomatisation et la généralisation (géométrie associée à un corps de nombres général).
Dans "Are there points at infinity ? - a debate among German teachers around 1870", Klaus Volkert relate (en anglais) le débat entre partisans et adversaires de l'introduction de la géométrie projective dans les programmes de gymnasium (équivalent allemand de nos lycées), ainsi que des querelles de vocabulaire concomitantes : "point à l'infini" ou "point inaccessible" ? Débat passionné au point que l'un des participants y introduit Dieu ! Cette introduction n'a jamais eu lieu.
Le développement historique du concept d'espace projectif, par Jean-Daniel Voelke, a pour ligne conductrice la double introduction possible, à l'heure actuelle, des espaces projectifs : définition axiomatisée, ou définition analytique (ensemble des (n+1)-uples de coordonnées homogènes sur un corps, ou encore ensemble des droites vectorielles d'un espace vectoriel). L'auteur nous raconte l'opposition, au cours des âges, de ces conceptions : pour Poncelet, il ne s'agit que d'ajouter des points et des droites à l'espace ordinaire, et non de construire une espace nouveau, mais il cherchait à éviter tout calcul analytique ; son approche synthétique se prolonge à travers Steiner, Von Staudt, Pasch... L'espace projectif analytique est, lui, né de l'invention des coordonnées homogènes par Möbius, et a été développé par Plücker, Hesse, Cayley... L'axiomatisation proprement dite est surtout le fait d'italiens : Segre, Amodeo, Fano, Pieri ... Au XXème siècle, Whitehead, Veblen, Young parviennent à un achèvement de la théorie, et à l'installation dans le public de l'espace projectif analytique comme de l'espace projectif axiomatique.
Klaus Volkert revient nous présenter "Projective plane and projective space from a topological point of view". Il s'agit de la recherche de modèles topologiques du plan projectif. Le plan projectif est une surface fermée non-orientable ; d'où la difficulté du problème de son plongement dans l'espace ordinaire ; on n'y parvient qu'au prix de coupures et d'auto-intersections, par divers modèles : demi-sphère de Klein, "Normalforms" et "Cross-caps" de Dyck et Dehn-Heegard, "Decahedron" de Möbius, "Heptaedron" de Reinhardt ; le clou revenant à la Surface de Boy, dont une très belle représentation par un internaute anonyme conclut l'ouvrage.

Notes :
Cet ouvrage est l'objet d'une recension sous la rubrique "matériaux pour une documentation" du Bulletin de l'APMEP n° 495.

Mots clés :


© ADIREM-APMEP -2003- ISSN 1292-8054 Mise à jour 10/03/2019
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