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Auteur(s) : Demazure Michel

Titre : Catastrophes et bifurcations.

Editeur : Ellipses Paris, 1989 Collection : X Ecole Polytechnique
Format : 17,5 cm x 26 cm, 331 p. Bibliogr. p. 23-25, Index p. 321-331
ISBN : 2-7298-8946-9 EAN : 9782729889463

Type : monographie, polycopié, ouvrage (au sens classique de l'édition) Langue : Français Support : papier

Public visé : élève ou étudiant, enseignant, tout public Niveau Niveau scolaire visé par l'article : licence Age : 18, 19

Classification : I95Divers (ex: analyse fonctionnelle, topologie, théorie des catastrophes, analyse non-standard, fractales, théorie du chaos) I98Divers (ex: analyse fonctionnelle, topologie, théorie des catastrophes, analyse non-standard, fractales, théorie du chaos) 

Résumé :

Le livre présente les catastrophes et les bifurcations ; l'auteur propose, comme autre titre : méthodes générales dans l'étude des singularités et des bifurcations, pour préciser le cadre de la présentation, il développe essentiellement les outils utiles à l'étude du sujet. Le contenu est celui d'une partie d'un cours de géométrie, distribué par l'auteur à l'Ecole Polytechnique en 1985-1987.
Au début du livre, dans une introduction d'une dizaine de pages, l'auteur motive les développements des chapitres qui vont suivre : à partir de deux exemples, il souligne l'importance des singularités qui permettent d'étudier la forme des objets géométriques, et de la stabilité structurelle qui rend possible une modélisation ; et il introduit, sur des situations particulières, les notions de catastrophe (changement de strate pour un objet géométrique) et de bifurcation (changement d'équilibre d'une barre). Cette introduction cite un grand nombre de termes et de résultats qui seront présentés dans la suite.
Le cours est réparti en dix chapitres d'une trentaine de pages. Le premier paragraphe de chaque chapitre est une introduction de une ou deux pages où l'auteur annonce le contenu, détaillé par paragraphes, les outils envisagés, propose des motivations, indique des choix retenus, suggère une appréhension globale du chapitre. Le dernier paragraphe, dans six chapitres, présente en quelques dizaines de lignes des renseignements historiques sur la construction progressive des résultats du chapitre.
En général, les théorèmes de ce cours sont démontrés ou accompagnés d'une démarche pour en esquisser une preuve ; pour certains, l'auteur suggère au lecteur d'établir une démonstration à titre d'exercice ou bien précise qu'il admet le résultat quand la difficulté dépasserait le cadre du livre (en particulier dans les derniers chapitres). Parmi les cadres et outils privilégiés dans les développements figurent : espaces vectoriels de dimension finie, sous-variétés, ensemble des réels (ensemble des complexes au chapitre VII) ; changement de coordonnées, paramètres locaux, ...
Des rappels sont présentés au moment où ils sont utiles, en particulier sur algèbre linéaire, topologie générale, théorie de la mesure, clairement structuré, avec souvent l'annonce des différentes étapes à franchir lorsque l'établissement d'un résultat est longue. Les énoncés sont souvent formulés de plusieurs manières, avec parfois une idée d'approche sous forme de résultat espéré, l'auteur soulignant le passage d'une représentation évocatrice à un texte en termes plus savants. Quelques exemples les accompagnent. Des commentaires, dans le texte ou en bas de page, attirent l'attention sur l'importance d'une hypothèse, un type d'erreur possible, les limites d'un énoncé, l'ambiguïté d'une notation ou terminologie ; expliquent la provenance d'une appellation, renvoient à un ouvrage cité dans la bibliographie pour complément, …Et une vingtaine de notes de bas de page donne des informations biographiques sur les mathématiciens cités dans l'étude.
Une soixantaine de figures est proposée pour visualiser ou mémoriser des résultats obtenus au cours des exposés. Trois tailles de caractères d'imprimerie soulignent la distinction entre les énoncés ou développements du cours, le démonstrations, les remarques et compléments.

Contenu de l'ouvrage :
Chapitre I : Inversion locale. Il introduit les notions de dérivée partielle, de fonction strictement dérivable et de coordonnées curvilignes ; et démontre le théorème d'inversion locale pour les fonctions Cn.
Chapitre II : Sous-variétés. Il définit les sous-variétés, en donne des exemples ; puis les espaces tangents à une sous-variété (fibré tangent, application linéaire tangente à une application), les difféomorphismes, la notion de transversalité (intersection, images réciproques) ; donne un point de vue géométrique du théorème des fonctions implicites ; introduit les difféomorphismes de sous-variétés, les plongements, immersions, les applications propres.
Chapitre III : Théorèmes de transversalité. Il rappelle des notions de topologie générale et théorie de la mesure, introduit partie résiduelle, point critique, propriété générique, étudie les positions relatives de deux sous-variétés, ou plus généralement d'une sous-variété et d'une application ; part de la notion de position générale pour introduire la transversalité, et traite les théorèmes attachés à cette notion.
Chapitre IV : Classification des fonctions différentiables. Il définit la forme hessienne d'une application, donne différents énoncés du lemme de Morse, traite des déformations de fonctions ; développe trois applications : contour apparent d'une surface de R3 (point-pli, point-fronce, ...), application générique du plan R2 dans lui-même, enveloppes de courbes planes ; il introduit le cas de caustiques et présente des réflexions sur la stabilité structurelle.
Chapitre V : Théorie des catastrophes. Il précise une terminologie spécifique : germe, jet, suffisance et détermination, idéal jacobien ; il énonce deux critères de Mather (sur les jets suffisants, sur la déformation universelle) ; donne les principes de la théorie des catastrophes, les détaille sur les fronces, les applique sur des exemples (barre pesante articulée, équilibre liquide-vapeur), énonce les sept catastrophes élémentaires : le pli, la fronce, la queue d'aronde, le papillon, les trois ombilics.
Chapitre VI : Champ de vecteurs. Il précise les généralités sur les champs de vecteurs (cas de Rn) : définitions, terminologie ; et, dans le cadre des ouverts d'espace vectoriel puis dans celui des sous-variétés, traite le théorème d'unicité de la courbe intégrale d'un champ de vecteurs passant par un point donné ; introduit champ de droites, élimination du temps, groupe à un paramètre de difféomorphismes ; il développe le théorème d'existence de la courbe intégrale sous trois aspects : existence locale et redressement, existence globale et principe de majoration, flots intégraux ; il définit champ de vecteurs tangents ; il présente les portraits de phase, précise le liaisons entre flots continus et flots discrets.
Chapitre VII : Champs de vecteurs linéaires. Il présente des rappels ou compléments sur valeur propre, décomposition de l'espace associé à une partition du spectre d'un endomorphisme, rayon spectral, relation entre norme et valeur propre, endomorphisme contractant, dilatant, hyperbolique ; il traite l'exponentielle d'un endomorphisme et ses valeurs propres, groupes à un paramètre de transformations linéaires, flot exponentiel ayant pour générateur un endomorphisme ; détermine l'image de l'application exponentielle ; introduit les flots exponentiels contractants, dilatants, hyperboliques et les flots topologiquement semblables ; établit une classification topologique des champs de vecteurs linéaires, puis des automorphismes ; détaille la classification des flots linéaires en dimension deux.
Chapitre VIII : Points singuliers des champs de vecteurs. Il propose une classification topologique utile pour la suite, introduit point singulier attractif, point singulier répulsif ; traite la linéarisation d'un champ de vecteurs au voisinage d'un point singulier, des points singuliers qui un linéarisé attractif ; présente la différentiabilité associée aux sous-variétés stables et instables d'un point singulier hyperbolique et énonce le théorème de la variété stable ; traite la linéarisation différentiable : résonances, théorèmes de Hartman, de Steinberg, puis le cas de la dimension deux.
Chapitre IX : Orbites fermées. Stabilité structurelle. Il définit l'application de Poincaré et en donne des propriétés, introduit les multiplicateurs caractéristiques d'une orbite fermée ; traite les orbites fermées attractives (théorème de la phase limite), les orbites fermées hyperboliques ; développe une classification des orbites fermées, des difféomorphismes (théorème de la variété stable) ; étudie la stabilité structurelle d'un champ de vecteurs, théorème de Kupka-Smale, de Peixoto, de Smale.
Chapitre X : Bifurcations des portraits de phase. Il définit la notion de bifurcation pour une famille de fonctions, pour une famille de champs de vecteurs ; énonce le théorème de la variété centrale et l'utilise pour étudier la bifurcation col-noeud et la bifurcation de Hopf ; traite les cas associés à une orbite fermée ; développe un exemple de bifurcation de codimension deux et un de bifurcation non locale.

Notes :
Des précisions sur quelques notations en algèbre linéaire sont donnés p. 27-28.
L'index contient 285 entrées distinctes renvoient à l'emplacement où le mot ou l'expression-clé (400 au total) est introduit.
Dans la bibliographie, 14 des 40 ouvrages cités sont classés suivant trois niveaux de difficulté.

Mots clés :


© ADIREM-APMEP -2003- ISSN 1292-8054 Mise à jour 07/10/2018
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