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Auteur(s) : Guinot Marc

Titre : Arithmétique pour amateurs. Vol. 1. Pythagore, Euclide et toute la clique.

Editeur : Aléas Lyon, 1992 Collection : Arithmétique pour amateurs Num. 1
Format : A5, 180 p. Bibliogr. p. 179-180. Index.
ISBN : 2-908016-21-4 EAN : 9782908016215

Type : ouvrage (au sens classique de l'édition) Langue : Français Support : papier

Public visé : enseignant Matériel utilisé : calculatrice programmable Niveau : licence, Master Age : 19, 20, 21

Résumé :

Cet ouvrage s'adresse à des amateurs éclairés (c'est-à-dire ayant fait une ou deux années d'études mathématiques après le baccalauréat). Il s'agit du premier livre d'une collection qui se veut une initiation à la théorie des nombres au cours de laquelle l'auteur aborde (avec tous les détails souhaitables et sans rien admettre qui ne soit assuré) quelques-unes des grandes questions qui ont agité et qui agitent encore les arithméticiens : les nombres premiers et leur diversité, les divers aspects de la notion de divisibilité, les sommes de carrés, le problème de Fermat et celui de Waring et jusqu'au théorème plus récent de Mordell-Weil. Pour examiner ces questions, l'auteur a choisi de suivre, grosso modo, une chronologie historique.
C'est cette idée qui lui a permis de diviser cet exposé en sept grandes parties, s'échelonnant de l'Antiquité au XXe siècle, (parties qui ont été appelées des Livres, sur le modèle d'Euclide et de Bourbaki) et qui constituent autant de fascicules séparés. Cependant, il ne s'agit pas d'un ouvrage consacré à l'histoire de la théorie des nombres.
Il s'agit d'un cours classiquement structuré avec des corollaires ou lemmes démontrés (plusieurs fois pour les théorèmes clés) ou avec des renvois aux tomes ultérieurs. Son auteur n'hésite pas, par exemple, à décrire des résultats remontant à l'Antiquité, dans un langage moderne, faisant appel entre autres aux ressources de l'algèbre élémentaire dont la mise au point date essentiellement de l'époque de Descartes.

Ce premier livre comporte cinq parties :
Dans la partie A, intitulée " Nombres premiers et théorème fondamental de l'arithmétique " est établie l'existence d'une infinité de nombres premiers par 5 démonstrations différentes dues à Euclide, Polya, Erdös, Weil et Euler. L'auteur y étudie les nombres premiers entre eux, donne les diverses expressions du théorème fondamental de l'arithmétique, leurs démonstrations, les théorèmes et applications dérivés.
La partie B, " PGCD et PPCM ", contient les diverses méthodes conduisant à leur existence. Ainsi qu'une vingtaine de théorèmes.
Dans la partie C " Grandeurs incommensurables et nombres irrationnels ", l'auteur traite de l'irrationalité des radicaux usuels ainsi que d'autres irrationalités démontrées en utilisant le calcul intégral.
La partie D, " Equation de Pythagore et problèmes apparentés ", contient deux méthodes pour les critères d'obtention de tous les triplets Pythagoriciens : l'une qui ne relève que de l'arithmétique, l'autre qui utilise une méthode géométrique simple. En liaison avec cette seconde méthode, l'auteur se préoccupe de l'existence de points rationnels pour les cercles puis pour des courbes de second degré quelconque. En outre, le dernier sous-chapitre est une étude de suites arithmétiques de carrés, notamment à propos du " célèbre problème des nombres congruents ".
La dernière partie contient quatre programmes pour calculatrices de poche, écrits dans un langage proche du basic, des tables de nombres premiers, de nombres composés et des décompositions en facteurs premiers.

Notes :
Un index des sujets abordés se trouve p.177 et p.178.

Les autres livres de la collection "Arithmétique pour amateurs" sont :
II Les "Resveries" de Fermat
III Ce diable d'homme d'Euler.
IV Une époque de transition : Lagrange et Legendre
V Gauss "princeps mathematicum"
V tome 2 Gauss, prince des mathématiques
VI Un homme de caractère(s) : Dirichlet
VII Kummer et Dedekind : des idéaux aux idéaux

Mots clés :


© ADIREM-APMEP -2003- ISSN 1292-8054 Mise à jour 04/12/2017
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