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Auteur(s) : Ebbinghaus Hans-Dieter ; Hermes Hans ; Hirzebruch Friedrich ; Koecher Max ; Mainzer Klaus ; Neukirch Jürgen ; Prestel Alexander ; Remmert Rheingold ; Lamotke Klaus. Coord. ; Guénard François. Trad.

Titre : Les nombres. Leur histoire, leur place et leur rôle de l'Antiquité aux recherches actuelles.
Titre original : Zalhen.

Editeur : Vuibert Paris, 1998
Format : 17,5 cm x 24,8 cm, 433 p. Bibliogr. pag. mult., Index mult.
ISBN : 2-7117-8901-2

Type : ouvrage (au sens classique de l'édition) Langue : Français Langue originale : Allemand Support : papier

Public visé : élève ou étudiant, enseignant Niveau Niveau scolaire visé par l'article : licence Age : 18, 19

Résumé :

Cet ouvrage comporte trois parties.

La partie A intitulée "Des entiers naturels aux nombres p-adiques" contient 6 chapitres : le premier donne une image globale des nombres naturels, des entiers et des rationnels en commençant par la naissance du nombre jusqu'aux axiomes de Péano et la construction du corps des rationnels. Le second porte sur les nombres réels : après quelques rappels historiques sont présentées successivement les coupures de Dedekind, les suites de Cauchy, les segments emboîtés et la définition axiomatique des réels. Le troisième chapitre est consacré aux nombres complexes avec tout d'abord leur genèse, le corps des complexes non ordonné, ses propriétés algébriques, ses propriétés géométriques, les isométries, les coordonnées polaires et les racines n-ièmes. Le théorème fondamental de l'algèbre est l'objet du chapitre 4 . Il contient de nombreuses démonstrations dont celles de Gauss, D'Argand, de Laplace et les applications de ce théorème. Le chapitre 5 traite du nombre pi : on y trouve un historique, l'homorphisme exponentiel, les caractérisations classiques de pi, les formules donnant ce nombre et enfin les algorithmes en donnant des approximations. Le dernier chapitre de cette partie contient la construction des nombres p-adiques et leurs différents aspects.

La seconde partie B intitulée "Algèbres à division réelles" est subdivisée en 5 chapitres précédés d'un résumé rappelant les concepts fondamentaux de la théorie des algèbres. Dans le premier chapitre les quaternions de Hamilton sont exposés d'abord avec leurs structures d'algèbre puis avec celle d'espace vectoriel euclidien ; cette étude se termine par les groupes orthogonaux avec les théorèmes de Cayley et de Hamilton. Les théorèmes d'isomorphismes de Frobenius, Hopf, Gelfand-Mazur sont démontrés dans le chapitre suivant. Le troisième chapitre de cette partie porte sur les nombres de Cayley et les algèbres à division alternatives : les algèbres quadratiques alternatives, les octonions et l'unicité de l'algèbre de Cayley. Les algèbres de composition, le théorème de Hurwitz, les algèbres de produit vectoriel sont les thèmes principaux du chapitre suivant. Cette partie B se conclue par la topologie et les algèbres à division avec entre autres la dimension d'une algèbre à division, l'invariant de Hopf, le théorème d'Adams sur les champs de vecteurs sur les sphères.

La partie C intitulée "Analyse non standard, jeux et théorie des ensembles" est constituée de 3 chapitres aux titres suivants: "Analyse non-standard", "Nombres et jeux", "Théorie des ensembles et mathématiques". Le lecteur y trouvera en particulier la construction des nombres non standard et leurs propriétés communes aux réels, les jeux de Conway, la modification des postulats de Dedekind, les nombres de Conway, les systèmes d'axiomes de la théorie des ensembles complétés de quelques aspects métamathématiques.
Cet ouvrage très riche par son contenu est agrémenté d'illustrations de mathématiciens acteurs du thème étudié avec en plus des éléments de leur biographie.

A la fin de chaque chapitre sont données des références bibliographiques.
Cet ouvrage contient un index des personnes citées (p. 411) ainsi qu'un index terminologique (p. 419-433).

Notes :
Ce livre est la traduction et l'adaptation française par François Guénard aux éditions Vuibert de la troisième édition d'un ouvrage collectif chez Springer-Verlag publié en 1992 (précédentes éditions respectivement en 1982 et 1988 chez le même éditeur).
Cet ouvrage est l'objet d'une recension sous la rubrique "matériaux pour une documentation" du Bulletin de l'APMEP n° 422.
Cette publication est codiffusée par l'Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public (APMEP) : brochure n° 906.

Mots clés :


© ADIREM-APMEP -2003- ISSN 1292-8054 Mise à jour 06/10/2018
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