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Titre : Quelques thèmes d'exercices en analyse suivis d'un Petit cours sauvage d'analyse mathématique. Mastaire de mathématiques, 1ère année, 1er semestre... années 2005-2006 et 2006-2007.
Une version texte intégral est sur le site Bibliothèque numérique des IREM et de l'APMEP Télécharger
Editeur : IREM de Lorraine, Vandoeuvre-les-Nancy, 2007
Format : A4, 104 p. ISBN : 2-85406-186-1 EAN : 9782854061864
Type : monographie, polycopié Langue : Français Support : papier
Public visé : élève, enseignant Niveau Niveau scolaire visé par l'article : master Age : 21, 22
Classification : I95Analyse : divers
Enseignement supérieur I99Analyse : divers
Formation à l'enseignement, initiale et continue.
Quelques éléments d'analyse fonctionnelle faisant partie de l'enseignement du module optionnel d'Analyse 2 de la première année de la maîtrise de mathématiques 2005-2006.
Il s'agit d'un enseignement des fondements, consacré presque exclusivement à cinq sujets, qui sont
- les espaces fonctionnels, espaces vectoriels normés ou topologiques localement convexes métrisables, et les constructions générales, sous-espaces, produits et quotients notamment, qui leur correspondent ;
- la compacité faible, en privilégiant le cas métrisable, celle de la boule unité d'un espace hilbertien séparable en particulier ;
- la compacité forte, avec le théorème d'Ascoli, et ses applications que sont le théorème de Montel et celui de Cauchy-Arzelà ;
- la complétude, avec la complétion d'un espace normé, l'exemple des espaces Lp, et la théorie de Baire et ses compétences, théorèmes de Banach, du graphe fermé, de Banach-Steinhaus ;
- la dualité, avec le théorème de Hahn-Banach, la dualité faible, la dualité forte entre Lp et Lq, et le théorème de Mackey-Bourbaki.
Une partie du contenu de cette brochure se trouve déjà dans l'enseignement de la licence. Cependant son originalité est d'avoir choisi d'exposer la plus grande partie de ce contenu sous la forme d'exercices ou de problème.
Pour ces derniers, l'auteur ne s'est pas contenté de donner des solutions type mais a essayé de retranscrire une partie des tentatives faites par les étudiants pour atteindre la solution. Pour cette raison, il peut arriver que l'on explore rapidement une fois sans issus ou que ne prenne pas la voie plus directe.
Par ailleurs quelques conseils ont été ajoutés.
Mots clés :
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