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Auteur(s) : Kouteynikoff Odile ; IREM de Paris Groupe MATH. Grt.

autre nom d'auteur : Le Guillou-Kouteynikoff Odile

Titre : Repères-IREM, N°61. p. 37-58. Le livre complet en algèbre d'Abu-Kamil.
English title: Abu-Kamil's complete book of algebra. (ZDM/Mathdi)

Editeur : TOPIQUES éditions Metz, 2005
Format : 16 cm x 23,7 cm, p. 37-58 Bibliogr. p. 57-58
  ISSN : 1157-285X

Type : article de périodique ou revue Langue : Français Support : papier

Public visé : chercheur, enseignant, formateur Niveau Niveau scolaire visé par l'article : lycée, 2de, 1ère, terminale, licence Age : 15, 16, 17, 18, 19

Classification : A34Revues, article de revue
Enseignement secondaire, lycée
 A35Revues, article de revue
Enseignement supérieur, Post-Bac
 A39Revues, article de revue
Formation à l'enseignement, initiale et continue.
 D24Histoire et épistémologie des mathématiques, époque antique et médiévale (jusqu'au 16ème siècle inclus).
Enseignement secondaire, lycée
 D25Histoire et épistémologie des mathématiques, époque antique et médiévale (jusqu'au 16ème siècle inclus).
Enseignement supérieur, Post-Bac
 D29Histoire et épistémologie des mathématiques, époque antique et médiévale (jusqu'au 16ème siècle inclus).
Formation à l'enseignement, initiale et continue.
 H34Théorie des équations et des inéquations
Enseignement secondaire, lycée
 H35Théorie des équations et des inéquations
Enseignement supérieur, Post-Bac
 H39Théorie des équations et des inéquations
Formation à l'enseignement, initiale et continue.
 

Résumé :

Abu-Kamil (~850, ~930) est un maillon important de la chaîne de développement et de diffusion de l'algèbre. Il est à la fois fidèle à son prédécesseur Al-Khwarizmi, le fondateur de l'algèbre, au début du 9e siècle, et influent sur ses propres successeurs, principalement Al-Karaji (~953, ~1029), puis As-Samaw'al (~1130, ~1180) et aussi Fibonacci (~1170, ~1240). Ce dernier aurait eu un accès direct à l'oeuvre d'Abu-Kamil et y aurait trouvé le point de départ d'une partie importante de ses travaux personnels.
La première partie de l'étude est consacrée à l'exposé des règles décrites par Abu-Kamil pour la résolution des équations de degré inférieur ou égal à deux, à coefficients tous positifs, dont on n'envisage pas, à l'époque, qu'elles aient des racines autres que positives. Abu-Kamil donne pour les trois équations quadratiques complètes, outre les algorithmes de calcul des racines que l'on trouve déjà chez Al-Khwarizmi, des règles d'obtention directe des carrés des racines. Il démontre géométriquement les deux procédures numériques, en faisant explicitement référence aux propositions du livre II des Eléments d'Euclide. Les démonstrations de la règle du carré ouvrent la question intéressante de l'homogénéité des grandeurs.
Dans une deuxième partie volontairement rapide, on signale le soin avec lequel Abu-Kamil explicite et valide les règles de multiplication des monômes et des binômes, sommes ou différences, comportant des indéterminées. On note la précision avec laquelle il énonce et justifie les règles opératoires sur les nombres irrationnels. Ce souci théorique de recenser et de fonder les règles de l'algèbre grâce aux règles de l'arithmétique est important en soi et aussi parce qu'il fournit l'outil pour ramener la résolution d'équations de degrés élevés ou de systèmes comportant plusieurs inconnues à la résolution d'équations quadratiques.
La troisième partie contient l'examen de quelques problèmes choisis parmi les soixante-neuf du traité d'Abu-Kamil pour la beauté technique de leur résolution, pour la diversité des méthodes auxquelles ils donnent lieu, ou pour l'intérêt des justifications géométriques qui accompagnent leur résolution numérique.
La cohérence des démarches numérique et géométrique est voulue par Abu-Kamil. Il offre là un bel exemple d'algèbre géométrique, au sens propre, et sans anachronisme, puisque son traité se situe après celui d'Al-Khwarizmi qui date la naissance de l'algèbre. En effet, les objets et les concepts nouveaux ont été définis, les résolutions algorithmiques sont au point, les problèmes font l'objet de mises en équation, les règles de calcul sur les quantités composées ont été reconnues, grâce à quoi les équations sont réductibles à des formes canoniques. Mais ce sont aussi les méthodes de l'algèbre qui s'élaborent autant que ses algorithmes de calcul, et les démonstrations algébriques d'Abu-Kamil sont fondues dans le moule éprouvé de la géométrie.
La rigueur et les avancées théoriques d'Abu-Kamil sont donc déterminantes pour l'élaboration de l'algèbre, au moment où elle émerge des disciplines antérieurement établies que sont l'arithmétique et la géométrie.

Pistes d'utilisation en classe :
Cette ressource peut être utilisée en formation initiale ESPE (ex IUFM).

Notes :
Repères-IREM est la revue des Instituts de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques (IREM), elle a été créée en 1990. Un grand nombre de ces articles peuvent être utilisés en formation initiale ESPE (ex IUFM).
Vous pouvez consulter les éditoriaux et les articles un an après leur parution, à partir du sommaire de chaque numéro de Repères-IREM disponible sur le Portail des IREM : cliquez sur "Repères IREM", puis sur "Consultation en ligne". Dans chaque numéro plus récent, un des articles l'est également. Vous pouvez aussi soumettre un article à la revue en l'adressant au rédacteur en chef à l'adresse : reperes-irem@univ-irem.fr

Une version texte intégral est en téléchargement sur le site " Bibliothèque numérique des IREM et de l'APMEP"

Mots clés :


© ADIREM-APMEP -2003- ISSN 1292-8054 Mise à jour 09/09/2019
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