Accueil Publimath  Aide à la recherche   Recherche Avancée   Imprimer la fiche   Aidez-nous à améliorer cette fiche  Vidéo d'aide
Certification IDDN Valid HTML 4.01 Transitional
Auteur(s) : Ducel Yves ; Saussereau Bruno ; Fourny Damien ; Fourny Maxime

Titre : Repères-IREM, N°94. p. 46-70. Calcul de risques de première et de seconde espèces à travers un exemple.
English title: Computation of errors of first and second kind by an example. (ZDM/Mathdi)

Editeur : TOPIQUES éditions Nancy, 2014
Format : 16 cm x 23,7 cm, p. 46-70 Bibliogr. p. 70-70
  ISSN : 1157-285X

Type : article de périodique ou revue Langue : Français Support : papier

Public visé : chercheur, enseignant, formateur Niveau Niveau scolaire visé par l'article : lycée professionnel, lycée, 2de, 1ère, terminale, licence Age : 15, 16, 17, 18, 19

Classification : A34Revues, article de revue
Enseignement secondaire, lycée
 A37Revues, article de revue
Enseignement professionnel, lycée professionnel, enseignement supérieur professionnel
 A35Revues, article de revue
Enseignement supérieur, Post-Bac
 A39Revues, article de revue
Formation à l'enseignement, initiale et continue.
 C74Pour la classe de mathématiques : fabrication de séquences d’enseignement, préparation des cours, activités pour la classe et organisation de la classe. Méthodes d’enseignement. Processus didactique. Les...
Enseignement secondaire, lycée
 C77Pour la classe de mathématiques : fabrication de séquences d’enseignement, préparation des cours, activités pour la classe et organisation de la classe. Méthodes d’enseignement. Processus didactique. Les...
Enseignement professionnel, lycée professionnel, enseignement supérieur professionnel
 C75Pour la classe de mathématiques : fabrication de séquences d’enseignement, préparation des cours, activités pour la classe et organisation de la classe. Méthodes d’enseignement. Processus didactique. Les...
Enseignement supérieur, Post-Bac
 C79Pour la classe de mathématiques : fabrication de séquences d’enseignement, préparation des cours, activités pour la classe et organisation de la classe. Méthodes d’enseignement. Processus didactique. Les...
Formation à l'enseignement, initiale et continue.
 K74Estimation, statistique inférentielle (Méthodes paramétriques et non-paramétriques, biais, robustesse, approche bayésienne, méthodologie et fondements)
Enseignement secondaire, lycée
 K77Estimation, statistique inférentielle (Méthodes paramétriques et non-paramétriques, biais, robustesse, approche bayésienne, méthodologie et fondements)
Enseignement professionnel, lycée professionnel, enseignement supérieur professionnel
 K75Estimation, statistique inférentielle (Méthodes paramétriques et non-paramétriques, biais, robustesse, approche bayésienne, méthodologie et fondements)
Enseignement supérieur, Post-Bac
 K79Estimation, statistique inférentielle (Méthodes paramétriques et non-paramétriques, biais, robustesse, approche bayésienne, méthodologie et fondements)
Formation à l'enseignement, initiale et continue.
 

Résumé :

La prise de décision relativement à une proportion a été introduite au lycée dès la Seconde par les programmes de 2009. Il s'agit d'établir une règle de décision permettant, à partir de l'observation d'un échantillon de taille n, de décider entre deux hypothèses H0 et H1 laquelle doit être retenue. Cette règle de décision fait appel à la notion d'intervalle de fluctuation.
Une première formulation pour ce type d'intervalle est donnée en Seconde pour des conditions de validité (conditions dites "des grandes binomiales") portant sur la proportion p et la taille n de l'échantillon observé à partir duquel est prise la décision. Cette démarche est ensuite reprise en classe de Première et en classe de Terminale en introduisant d'autres constructions d'intervalles de fluctuation. Ainsi, bien que le raisonnement à la base de la décision soit inchangé, les intervalles de fluctuation susceptibles d'être mis en œuvre, et les conditions de leur validité, diffèrent d'une classe à l'autre.
Ces différentes définitions sont souvent source d'interrogation de la part des enseignants peu habitués à la problématique statistique qui, face à une situation donnée, se demandent quel intervalle de fluctuation utiliser et surtout sur quels critères objectifs le choix doit être fait : pourquoi choisir l'un au détriment d'un autre lorsque les conditions de validité s'y prêtent ?
Pour apporter des éléments de réponse à cette question, il est nécessaire que l'enseignant ait suffisamment de recul par rapport à la prise de décision, et qu'il connaisse les notions de risques de première et de seconde espèces qui, bien que hors programmes des lycées, sont fondamentales dans la discussion de l'efficacité de la prise de décision. Cet article se propose de préciser ces notions à partir d'un exemple. Le propos vise à faire comprendre comment ces notions de risques interviennent, et pourquoi elles sont indispensables, pour bien cerner la problématique de la démarche de prise de décision vue au lycée. L'enseignant aura ainsi un cadre mathématique précis qui lui permettra de mieux maîtriser l'implicite de certaines questions des élèves sur cette problématique et de mieux adapter sa réponse à leur niveau.
Ces notions de risques de première et de seconde espèces sont illustrées ici en prenant appui sur l'expérience que Buffon relate dans son "Essai d'arithmétique morale" (1777) : Buffon fait lancer à un enfant 4040 fois une pièce de monnaie. Il obtient 2048 fois "pile". La question est de savoir si la pièce utilisée est équilibrée, c'est-à-dire de décider si la probabilité d'obtenir "pile" avec cette pièce est égale à 0,5 (hypothèse H0), ou si elle est déséquilibrée (hypothèse H1).
La prise de décision fait appel à des intervalles de fluctuation différents en fonction des conditions expérimentales de l'échantillonnage : en Seconde et en Terminale, l'intervalle de fluctuation utilisé suppose que n et p vérifient la condition des grandes binomiales, alors qu'en Première, l'intervalle de fluctuation est construit pour toutes valeurs de n et de p. Les auteurs ont choisi l'exemple de la pièce de Buffon car cette situation vérifie la condition des grandes binomiales, ce qui permet d'utiliser les intervalles de fluctuation construits dans chacun des trois niveaux du lycée. Les risques sont alors calculés dans chaque cas, d'abord avec la loi binomiale (calculs exacts), puis avec l'approximation gaussienne (calculs approchés).
En annexe de cet article, les auteurs développent, également pour le lancer de pièce, un cadre mathématique de modélisation statistique. La prise de décision suppose ce cadre formel qui, parce qu'il dépasse largement le niveau du lycée, est laissé implicite dans la démarche et les raisonnements utilisés. Cependant, il peut être intéressant de l'expliciter, au moins une fois, pour que l'enseignant intéressé puisse en avoir connaissance.
A cet effet, les auteurs partent toujours de l'exemple de Buffon pour illustrer dans ce cas précis la mise en place des cadres statistique et probabiliste tels qu'ils sont abordés, souvent de façon très abstraite ou peu détaillée, dans les manuels universitaires de statistique inférentielle.

Notes :
Repères-IREM est la revue des Instituts de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques (IREM), elle a été créée en 1990. Un grand nombre de ces articles peuvent être utilisés en formation initiale ESPE (ex IUFM).
Vous pouvez consulter les éditoriaux et les articles un an après leur parution, à partir du sommaire de chaque numéro de Repères-IREM disponible sur le Portail des IREM : cliquez sur "Repères IREM", puis sur "Consultation en ligne". Dans chaque numéro plus récent, un des articles l'est également. Vous pouvez aussi soumettre un article à la revue en l'adressant au rédacteur en chef à l'adresse : reperes-irem@univ-irem.fr

Une version texte intégral est en téléchargement sur le site " Bibliothèque numérique des IREM et de l'APMEP"

Mots clés :


© ADIREM-APMEP -2003- ISSN 1292-8054 Mise à jour 09/09/2019
Accueil Publimath  Aide à la recherche   Recherche Avancée   Imprimer la fiche   Aidez-nous à améliorer cette fiche  Vidéo d'aide
Certification IDDN Valid HTML 4.01 Transitional