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Auteur(s) : Perrin-Glorian Marie-Jeanne

Titre : Repères-IREM, N°34. p. 5-12. La tangente est-elle vraiment la droite qui approche le mieux la courbe au voisinage d'un point ?
English title: Is the tangent really the best approximation to the curve in a given point? (ZDM/Mathdi)

Editeur : TOPIQUES éditions Metz, 1999
Format : 16 cm x 23,7 cm, p. 5-12  ISSN : 1157-285X

Type : article de périodique ou revue Langue : Français Support : papier

Public visé : chercheur, enseignant, formateur Matériel utilisé : GéoolanWNiveau Niveau scolaire visé par l'article : lycée, 1ère Age : 16

Classification : A34Revues, article de revue
Enseignement secondaire, lycée
 A39Revues, article de revue
Formation à l'enseignement, initiale et continue.
 B39L'enseignement secondaire
Formation à l'enseignement, initiale et continue.
 B50La formation des enseignants (formation initiale et formation continue)
Général, difficile à classer
 I34Suites, séries, séries entières, séries de Fourier. Convergence, sommabilité (produits infinis, intégrales).
Enseignement secondaire, lycée
 U34Livres du Maitre et aides à l'enseignement (documents d'accompagnement, matériel didactique)
Enseignement secondaire, lycée
 U39Livres du Maitre et aides à l'enseignement (documents d'accompagnement, matériel didactique)
Formation à l'enseignement, initiale et continue.
 

Résumé :

A partir du constat que, sur un ordinateur, certaines droites passant par A restent confondues avec la courbe "plus longtemps" que la tangente en A, on explique le phénomène en comparant différentes approximations possibles d'une droite par une droite au voisinage d'un point et on recherche en quel sens la tangente est une meilleure approximation.
Ainsi après avoir dessiné la courbe, le principe choisi consiste à faire tracer par l'ordinateur quelques droites passant par le point A dont la tangente, et à faire afficher par l'ordinateur la différence des ordonnées entre M et D, points de même abscisse x situés respectivement sur la parabole y=x2-x et sur la droite passant par A considérée. L'idée étant que cette différence reste "nulle" sur un petit intervalle quand D se déplace sur la tangente.
Dans un premier temps, on fait varier le coefficient directeur m de la droite entre 1/2 et 3/2 avec un pas de 1/10 et l'abscisse x de M et D avec un pas de 1/100 puis de 1/1000. Avec la précision affichée, la différence entre les coordonnées de M et D reste "nulle" sur un intervalle autour de x=1 pour les autres droites aussi, mais l'intervalle concernant la tangente est bien plus grand que pour les autres droites. En voulant affiner l'étude et faire varier m entre 9/10 et 11/10 avec un pas de 1/100, rien ne va plus ! La courbe reste confondue avec certaines sécantes plus longtemps qu'avec la tangente. Ce phénomène montre bien l'importance de distinguer clairement le comportement local et global des fonctions. La tangente est vraiment une notion locale. Il s'agit de la meilleure approximation affine de la courbe au voisinage d'un point, à condition de ne fixer à l'avance ni la longueur de l'intervalle contenant le point, ni l'erreur admise dans l'approximation.

Notes :
Repères-IREM est la revue des Instituts de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques (IREM), elle a été créée en 1990. Un grand nombre de ces articles peuvent être utilisés en formation initiale ESPE (ex IUFM).
Vous pouvez consulter les éditoriaux et les articles un an après leur parution, à partir du sommaire de chaque numéro de Repères-IREM disponible sur le Portail des IREM : cliquez sur "Repères IREM", puis sur "Consultation en ligne". Dans chaque numéro plus récent, un des articles l'est également. Vous pouvez aussi soumettre un article à la revue en l'adressant au rédacteur en chef à l'adresse : reperes-irem@univ-irem.fr

Un fac-similé numérique est en téléchargement sur le site " Bibliothèque numérique des IREM et de l'APMEP"

Mots clés :


© ADIREM-APMEP -2003- ISSN 1292-8054 Mise à jour 09/09/2019
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