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Auteur(s) : Rouvière François

Titre : Petit guide de calcul différentiel à l'usage de la licence et de l'agrégation. Deuxième édition revue et commentée.

Editeur : Cassini Paris, 2003 Collection : Enseignement des mathématiques Num. 04 2e éd.
Format : 15,1 cm x 22,6 cm, 436 p. Bibliogr. p. 409-411, Index p. 413-418, Index des notations p. XVII-XVIII
ISBN : 2-84225-069-9

Type : exercices, problèmes, solutions, corrigés, ouvrage (au sens classique de l'édition) Langue : Français Support : papier

Public visé : élève ou étudiant, enseignant Niveau : licence, master Age : 18, 19, 18, 19, 20, 21

Classification : U45Livres d'exercices, compétitions et questions d'examen 

Résumé :

L'ouvrage présente des rappels de cours (sur une cinquantaine de pages au total) et 133 exercices corrigés et commentés (respectivement 350 p) sur le calcul différentiel, issus de plusieurs années d'enseignement en licence et préparation à l'agrégation.
L'auteur veut "mettre en action les outils de calcul différentiel sur un choix de questions d'analyse et de géométrie" et de physique en appuyant sur des exercices la formation dans ce domaine ; il souligne l'intérêt d' "approcher une application "quelconque" par une application linéaire" (localement) ; et, dans cette voie, propose parfois sous la dénomination "heuristique", des cheminements obtenus "en remplaçant tous les epsilons de l'analyse par des points de suspension" , de sorte "qu'il ne reste plus que de l'algèbre linéaire". Par ailleurs il met plusieurs fois en garde contre les risques liés aux notations, constatant que les blocages initiaux sur le domaine étudié" se réduisent généralement à la seule incompréhension des notations" ; et conseille, au lieu d'apprendre une formule, de retenir plutôt une méthode pour la réécrire avec les notations propres au problème traité. Comme cadre d'étude, il privilégie presque toujours Rn aux espaces de Banach quelconques. Il limite les rappels du cours aux résultats les plus fondamentaux ; il accompagne cours et corrigés détaillés des exercices de très nombreux commentaires, non dépourvus d'humour quelquefois, qui contribuent à la richesse de l'ouvrage et en fond un instrument de culture.
Le livre comprend sept chapitres, de 34 à 103 pages : Normes, Différentielles, Inégalité de la moyenne, Point fixe, Fonctions inverses, implicites et sous-variétés (chapitre le plus étendu), Différentielles secondes, Problèmes d'extrémum. Ces chapitres rassemblent de 13 à 35 exercices, avec le corrigé immédiatement après l'énoncé.

Les rappels de cours sont réduits, de 2 à 14 p. selon le chapitre :
- Quelques lignes sur les objectifs donnent une vue globale sur le chapitre, soulignent les points importants ou les idées directrices, limitent le cadre de l'étude, proposent d'autres notions à explorer.
- Des définitions sont ensuite énoncées ainsi que des résultats du cours (une vingtaine de propositions au total) sans leurs démonstrations.
- Il y a de nombreux renvois : une quarantaine, dans l'avancement du cours, annoncent des ouvrages ou figurent des preuves des résultats énoncés ou des détails complémentaires ; une trentaine, en fin de paragraphe, indiquent d'autres livres attachés au sujet pour l'approfondir ; ils précisent chaque fois chapitres et pages concernés. Une quarantaine de renvois orientent, au cours des paragraphes, vers des exercices traités dans l'ouvrage : démonstration, développement ou application importante d'un résultat, complément, illustration d'une affirmation... ; d'autres précisent dans quels chapitres de ce livre se trouvent les informations utiles à la question traitée.
- Une vingtaine d'exemples, souvent des applications plus ou moins directes de la théorie générale, sont joints. Une vingtaine de remarques appellent à la vigilance sur une erreur possible, soulignent l'intérêt d'un résultat, motivent le choix d'une hypothèse, proposent une traduction pratique ou une interprétation géométrique clarifiant la compréhension.
- Les pages de cours comportent une quarantaine de figures, l'auteur recommandant d'utiliser systématiquement des croquis pour "visualiser et mémoriser".

Les exercices sont ainsi répartis : 20 énoncés au plus, sur une quarantaine de pages dans chaque chapitre sauf pour "Fonctions inverses, implicites et sous-variétés" qui rassemblent 35 exercices sur 90 pages. Au début des listes d'exercices, quelques lignes indiquent quels types de questions seront abordés. Chaque exercice se présente avec une dénomination qui permet de le retrouver dans la table des matières : sujet traité, cadre de travail, résultat visé… Quelques sujets ou domaines abordés en exercice, non traités dans les rappels de cours :
- Jauge d'un compact, rayon spectral, calcul des variations, application conforme, déterminant wronskien, mesure de Lebesgue, dérivée d'une limite, dérivations sous le signe intégral, inéquation différentielle, longueur d'un arc, fonction convexe, linéarisation d'une équation différentielle, fonction de Liapounov, ensemble de Cantor, point fixe attractif ou répulsif, itération de fonction, méthode de Newton, inégalité de Hardy, système d'équations, folium de Descartes, équation du troisième degré, équation de Burger, équation iconale, isométrie, équation de Monge-Ampère, formules de Frénet, éclatement d'un point double, méthode Laplace, fonction plateau, groupe de Lie, droite des moindres carrés, point de Fermat, méthode du col, inégalité de Hadémard, entropie, principe du maximum, problème de Dirichlet, équation de Newton, distance point-surface, billard, cinématique, gradient et géographie, anomalie excentrique, théorème de Hahn-Banach, théorème de Sard, lemme de Gronwall, théorème de Rouché, théorème du point fixe de Brouwer, théorème du point fixe de Schauder, théorème de Cauchy-Lipschitz, théorème du rang constant, lemme de Schwarz, théorème de Bloch, lemme de Poincaré, théorème de relèvement, théorème de Whitney, théorème de Borel,...
- Les énoncés sont courts, pour une cinquantaine d'entre eux (moins de dix lignes) ; les autres se répartissent en parts égales entre 10 lignes et une demi-page, et entre une demi-et une page, sauf deux un peu plus longs. Des indications pour la recherche- qui sont parfois des renvois à d'autres exercices- sont fréquemment données : 80 énoncés proposent une aide au moins. Thèmes et difficulté sont variés : utilisation directe d'un résultat du cours dans les premiers exercices de chaque liste, preuves guidées de résultats théoriques, étude de situations avec une hypothèse modifiée, autres versions de théorèmes énoncés dans la partie cours, courts problèmes, de niveau plus élevé ; 26 énoncés sont désignés par un astérisque comme plus difficiles. Une des questions porte parfois sur l'étude d'un exemple, d'une généralisation, sur la recherche d'une illustration, d'une interprétation géométrique.

Les corrigés sont détaillés et développés avec "tous les epsilons nécessaires". Les deux tiers couvrent entre 1 et 3 pages, les autres se répartissent en parts égales en plus courts et de 3 à 5 pages. Ils approfondissent la formation du lecteur par de nombreux commentaires, renvois et remarques.
Des commentaires de quelques lignes introduisent plus de la moitié des corrigés : l'auteur y indique le but poursuivi, explique l'intérêt d'une hypothèse, suggère une interprétation géométrique ou intuitive, souligne l'importance d'un résultat ou d'une méthode, recommande l'étude d'un exercice fondamental, démontre le caractère surprenant d'un résultat, isole ce qui suggère la méthode retenue, replace l'étude dans un autre contexte.
De nombreux renvois accompagnent les corrigés pour "inciter à l'aventure" : plus de 240 dirigent vers d'autres exercices de l'ouvrage, parfois postérieurs à celui étudié, pour : retrouver une définition, un résultat ou un outil, utiliser un autre éclairage, indiquer une suite, souligner une analogie, une différence entre plusieurs exercices. Plus de 140 autres indiquent des ouvrages pour approfondir le sujet, en trouvant des détails sur un objet, une affirmation ou une méthode, des développements sur le thème, des compléments ou une théorie ; tous ces renvois sont donnés avec la même précision d'accès que dans la partie cours.
Des remarques (70), au cours des corrigés, proposent : un autre aspect, une illustration, une utilisation, une traduction intuitive d'un résultat, un complément ou une généralisation, une interprétation géométrique, une explication de notation ; certaines soulignent une idée générale sous-jacente, l'intérêt d'une technique, donnent du sens à une question abstraite, …. Une quinzaine d'autres, appelés "compléments" proposent un élargissement de la question étudiée.
Les corrigés comprennent, par ailleurs une dizaine d'approches heuristiques-au sens proposé dans la partie cours, autant d'exemples, une quinzaine de "variantes" qui proposent une seconde méthode de résolution, et 165 figures pour clarifier ou symboliser un résultat.

Notes :
Le résumé comprend une liste d'un certain nombre de sujets ou domaines, abordés non dans le cours mais dans un ou deux exercices, en plus de ceux répertoriés dans la liste des mots clés ci-dessous.

Par rapport à la première édition (1999), cette édition est revue et augmentée de quelques exercices sur l'inversion dans R n, l'équation du troisième degré, l'équation aux dérivées partielles de Burgers et la recherche d'applications de jacobien donné.

Mots clés :


© ADIREM-APMEP -2003- ISSN 1292-8054 Mise à jour 05/12/2017
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