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Auteur(s) : Hofstadter Douglas

Titre : Bulletin de l'APMEP. N° 477. p. 407-426. Eine kleine Galoistheorie : une introduction en mots artistiques aux découvertes d'Evariste Galois, mathématicien mozartien.

Editeur : APMEP Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public (APMEP) Paris, 2008
Format : 17 cm x 24 cm, p. 407-426  ISSN : 0240-5709

Type : article de périodique ou revue Langue : Français Support : papier

Public visé : chercheur, enseignant, formateur

Classification : A39Revues, article de revue, article sur un site internet
Formation à l'enseignement, initiale et continue.
 H39Théorie des équations et des inéquations
Formation à l'enseignement, initiale et continue.
 H49Structures algébriques (groupes, anneaux, corps, algèbre)
Formation à l'enseignement, initiale et continue.
 H59Structures algébriques ordonnées. Treillis. Algèbre booléenne.
Formation à l'enseignement, initiale et continue.
 

Résumé :

Cet article est le texte de la conférence dont le sujet est le parcours de la découverte en mathématiques, c'est-à-dire le fonctionnement de la pensée humaine, guidé par l'analogie. Ce qui a précédé la théorie de Galois, c'est la résolution des équations polynomiales, à savoir l'équation quadratique (Al-Khwarizmi vers 800), puis la solution de l'équation cubique (par les génies italiens du XVI° siècle) et la solution de l'équation quartique (par Cardan et son assistant Ferrari). L'espoir de solution analogue pour l'équation quintique et les autres a été déçu et c'est Galois qui l'a découvert.
La théorie de Galois est une théorie de symétries non visuelles, cousines de la conjugaison complexe. L'équation quartique se résout à l'aide d'un "corps étendu" par la racine carrée de 2. Une analogie révolutionnaire de Galois est de traiter les automorphismes comme des nombres (groupe de Klein) et de même pour les groupes, rendus visibles par les diagrammes de Cayley. Il crée deux treillis de structures totalement différentes et en observe l'isomorphie parfaite ! Il traite le cas révélateur de l'équation cubique à propos de laquelle il définit l'extension galoisienne. Il obtient une seule structure, même s'il y a deux treillis d'origines très différentes. Il énonce le théorème fondamental de la théorie de Galois et retourne aux équations polynomiales et à leur résolution ou non à l'aide de radicaux : une extension radicale correspond à un groupe de symétries, d'où le secret galoisien de la résolubilité d'une équation, qu'il applique à l'équation quartique générale puis à l'équation quintique, qui, elle, est non résoluble par radicaux. Mais les idées de Galois vont bien au-delà de la non résolution des équations polynomiales : Théories des groupes abstraits, des corps, des treillis des structures abstraites, des correspondances entre les treillis.

Notes :
Cet article est le texte d'une conférence aux Journées Nationales APMEP qui se sont tenues en 2007 à Besançon.
Le Bulletin de l'APMEP (appelé "Bulletin Vert") paraît 5 fois par an. Il s'efforce, par des articles de fond : de couvrir l'actualité de l'enseignement des mathématiques de la maternelle à l'université, de contribuer à la formation approfondie des enseignants, d'entretenir, chez ceux-ci, l'esprit de recherche et de susciter des échanges avec ses lecteurs.

Une version texte intégral est en téléchargement sur le site "Bibliothèque numérique des IREM et de l'APMEP"

Mots clés :


© ADIREM-APMEP -2003- ISSN 1292-8054 Mise à jour 21/02/2021
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