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Titre : Découvrir les géométries non euclidiennes en jouant avec Cabri-Géomètre II. T. 2. Géométrie elliptique. Géométrie projective hyperbolique.
Editeur : 
Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public (APMEP), Cabrilog Paris, 2004
Collection : Publication de l'APMEP Num. 161
Format : 17 cm x 24 cm, 221 p. Bibliogr. p. 251, Index p. 249
ISBN : 2-912846-38-2 ISSN : 0291-0578
Type : ouvrage (au sens classique de l'édition) Langue : Français Support : papier
Public visé : enseignant, formateur Matériel utilisé : Cabri-Géomètre
Classification : G99Géométrie : divers
Formation à l'enseignement, initiale et continue. R29Utilisations des logiciels en mathématiques
Formation à l'enseignement, initiale et continue. U79Outils numériques et pédagogie
Formation à l'enseignement, initiale et continue.
Les numérotations des pages et des chapitres de ce tome prolongent celles du premier tome.
Il relève de la même préface et contient les parties suivantes :
Deuxième partie : La géométrie elliptique (10 chapitres, 75 pages)
Chapitre 16 : Points et droites d'un plan elliptique (10 pages).
"Le modèle de Klein : La géométrie elliptique (encore appelée géométrie riemannienne) est une géométrie où il n'y a pas de droites parallèles.
Un modèle élémentaire de la géométrie elliptique plane consiste à prendre pour plan une sphère, pour points du plan les couples de points diamétralement opposés et pour droites les grands cercles de la sphère. Mais il existe un modèle plan que décrit Greenberg de la manière suivante : "Un autre modèle pour la géométrie elliptique plane (dû à Klein) est conforme : comme le modèle de Poincaré pour la géométrie hyperbolique, les angles sont fidèlement représentés par des angles euclidiens. Dans ce modèle, les "points" sont les points euclidiens à l'intérieur du cercle unité dans le plan euclidien ainsi que les couples de points antipodaux sur le cercle (le "cercle unité" de Greenberg sera appelé "cercle absolu") ; les "droites" sont soit les diamètres du cercle unité, soit les arcs des cercles euclidiens qui rencontrent le cercle unité aux extrémités d'un diamètre." Après présentation des points, droites, de la non-existence de parallèles, viennent les segments (deux points distincts déterminent deux segments, qualifiés l'un d'intérieur, l'autre d'extérieur), puis les faisceaux de droites, ...
Chapitre 17 : Angles et droites perpendiculaires elliptiques (4 pages) ... et pôle d'une droite, polaire d'un point, ...
Chapitre 18 : Distance elliptique (14 pages). Longueur d'un segment intérieur ... et d'une droite. Relations longueurs-angles.
Symétrie axiale, bissectrices, médiatrices, rotation, symétrie centrale, ... Birapport... Et retour sur un "isomorphisme canonique"...
Chapitre 19 : Cercles elliptiques (14 pages). Représentation, ..., lieux, ... Intersections droite-cercle, de deux cercles, ..., pôles et polaires, ..., cercles orthogonaux, ..., puissance d'un point, ..., axes et centres radicaux, faisceaux de cercles.
Chapitre 20 : Coniques elliptiques (8 pages) ... définies comme perspectives d'un cercle elliptique. Problèmes de tangentes, d'intersection, de symétries, ... pôles et polaires et quelques lieux.
Chapitre 21 : Triangles elliptiques (12 pages). Deux points ??deux segments. D'où trois points ? huit triangles ? Une condition (cf. axiome de Pasch) réduit à un triangle intérieur et trois triangles extérieurs... Cas d'égalité, ... Points et droites remarquables, alignements et concours...
Chapitre 22 : Polygones réguliers elliptiques (4 pages) ... définis, comme dans les cas euclidien ou hyperbolique, par une invariance dans telle rotation... Pavages.
Chapitre 23 : Longueurs et aires elliptiques (4 pages), ... pour cercles (ou disques), triangles, ..., et ... plan.
Chapitre 24 : Géométrie analytique elliptique (2 pages).
Chapitre 25 : Cas limites de la géométrie elliptique (3 pages) : - Le plan euclidien est la limite du modèle de Klein quand le rayon du cercle absolu devient infini. - Le modèle de Klein a pour limite un demi-plan euclidien quand le centre du cercle absolu s'en va à l'infini.
Troisième partie : Géométrie projective hyperbolique
Les deux premières parties, dit l'auteur, manifestent de nombreuses analogies entre les géométries hyperbolique et elliptique.
Cette analogie va se trouver renforcée par l'extension d'un plan hyperbolique à un "plan hyperbolique étendu " en ajoutant les points à l'infini et les " points idéaux ", définis comme pôles de droites à partir de faisceaux de droites perpendiculaires...
Chapitre 26 : Plan hyperbolique étendu (8 pages).
- Notions de points idéaux, de droites idéales. De là quelque huit conséquences immédiates. Ainsi :
- par deux points d'un plan hyperbolique étendu passe une droite et une seule.
- des points sont alignés si et seulement si leurs polaires sont concourantes.
- Modèle de Klein étendu, ... où les points idéaux interviennent, à l'extérieur du cercle absolu. De là une correspondance bijective entre un plan hyperbolique étendu et un plan projectif, les théorèmes de Pappus et de Desargues, ... puis une étude du birapport.
Chapitre 27 : Symétries d'un plan hyperbolique étendu (4 pages)
Chapitre 28 : Cycles et coniques d'un plan hyperbolique étendu (6 pages) ... où l'on retrouve les "cercles hyperboliques", "horocycles" et "hypercycles".
Chapitre 29 : Bissectrices dans un plan hyperbolique étendu (8 pages) ... où un cas produit une infinité de bissectrices ! ... Cycles inscrits et cycles ex-inscrits dans un triangle ... vers quatre points de Gergonne et quatre de Nagel !
Chapitre 30 : Milieux et médiatrices dans un plan hyperbolique étendu (7 pages).
Notes :
Cette brochure est l'objet d'une présentation dans le Bulletin de l'APMEP n°455.
Mots clés :
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