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Titre : Six concours 2004. CAPES, Agrégation et CAPLP2 externes et internes Dix sujets corrigés.

Editeur : Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public (APMEP) Paris, 2005 Collection : Publication de l'APMEP Num. 164
Format : 17 cm x 24 cm, 172 p. ISBN : 2-9128-4641-2 EAN : 9782912846419  ISSN : 0291-0578

Type : annales Langue : Français Support : papier

Public visé : chercheur, enseignant, formateur Niveau Niveau scolaire visé par l'article : master Age : 21, 22, 23

Classification : U45Livres d'exercices et annales
Enseignement supérieur U49Livres d'exercices et annales
Formation à l'enseignement, initiale et continue. 

Agrégation interne :
Première épreuve, 21 p. (corrigé de F. Bertrand. Les trois premières parties étudient l'existence d'une partie de C ou de R dédoublables relativement au groupe des isométries affines. La partie IV étudie un sous-groupe de SL2(Z) engendré par deux matrices. La partie V étudie deux ensembles paradoxaux sous l'action de ce groupe.
Deuxième épreuve, 16 p. (corrigé de F. Bertrand). Ce texte d'analyse fonctionnelle étudie quelques propriétés des séries trigonométriques ; il se conclut par la résolution d'un problème de Dirichlet par une approche variationnelle.
1. Préliminaires : un lemme de Cantor, l'espace H.
2. Pseudo-dérivée seconde au sens de Schwarz.
3 . Application à un problème variationnel

Agrégation externe :
Première épreuve, 13 p. Le but du problème est d'étudier le nombre de solutions modulo un entier naturel q d'une congruence quadratique matricielle où S et T sont des matrices symétriques données à coefficients entiers. La partie A étudie les solutions modulo un nombre premier impair, la partie B, les matrices à coefficients dans Z/qZ.
Deuxième épreuve, 17 p. : étude du comportement asymptotique de la n-ième itérée d'une fonction f
1. Introduction.
2. Partie linéaire.
3. Linéarité et topologie.
4. Un exemple presque linéaire dans R².
5. Différentiabilité des fonctions lipschitziennes.

CAPES interne :
Premier problème, 17 p. : Le thème est l'étude de la dérivation symétrique et de ses liens avec la dérivation usuelle. Ce texte est très gradué et plusieurs de ses questions peuvent faire l'objet d'exercices ou de recherches en Première et Terminale. La première partie étudie six exemples, la seconde quelques résultats généraux, la troisième l'exponentielle, la quatrième (dont le titre a été mal transcrit dans la solution) une caractérisation des polynômes de degré 1 ou 2.
Deuxième problème, 17 p. : Très gradué il étudie des configurations géométriques, les premières accessibles dès le collège : cercle inscrit dans un losange, image par une affinité d'un cercle, étude de deux conditions de contact d'une droite avec un cercle, étude d'une condition de contact d'une droite avec une ellipse, ellipse inscrite dans un parallélogramme, lieu des points d'où l'on voit une ellipse suivant un angle droit.

CAPES externe :
Premier problème, 15 p. : étude de deux définitions classiques de la fonction exponentielle.
A : inégalité de Bernoulli, inégalité de Cauchy, calcul d'intégrale.
B : étude de la fonction exponentielle.
C : l'exponentielle R-solution de y'=y, y(0)=1.
Deuxième problème,:
I : quelques propriétés des rotations de l'espace.
II : un sous-groupe de SO(3).
III : sous-ensembles de S2.
V : équidécomposabilité.
V : ensembles paradoxaux.

CAPLP2 interne
Premier exercice (Didactique) : construction d'une boite en carton de volume maximum (classique). Il s'agit de préciser les compétences attendues des élèves, les difficultés prévisibles en particulier pour l'introduction de la notion de dérivée en lien avec les sciences physiques.
Deuxième exercice : introduction aux courbes de Bézier
Troisième exercice : à une suite (u_n) de réels non nuls, on associe la suite définie par p_n= u₁u₂...u_n. On établit quelques résultats sur la convergence de (p_n)

CAPLP2 externe
Premier exercice : calcul d'aires limitées par un arc de parabole et divers segments de droite. La solution aurait pu être éclairée par une figure.
Deuxième exercice : étude de l'évolution de l'utilisation de trois marques de dentifrice suivant un modèle markovien.
Problème : problème d'analyse de construction standard à partir de la fonction arctan.

Notes :
Cette brochure est l'objet d'une présentation dans le Bulletin de l'APMEP n° 457.
Elle est en coédition avec Vuibert (ISBN : 2-7117-7185-7).

Mots clés :

• "sujet de concours corrigé"
• "sujet de concours de recrutement des enseignants"

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