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Auteur(s) : Cohen Gilles. Dir.

Titre : Tangente Hors-série. N° 6. Secrets de Nombres. Arithmétique. Enseignement de spécialité en terminale S.

Editeur : Editions POLE Paris, 1998
Format : A4, 96 p. Bibliogr. pag. mult.
  ISSN : 1294-9949

Type : périodique ou revue, vulgarisation, popularisation Langue : Français Support : papier

Public visé : élève ou étudiant, enseignant, tout public Niveau Niveau scolaire visé par l'article : lycée, 2de, 1ère, terminale, licence Age : 15, 16, 17, 18, 19

Classification : A34Revues, article de revue, article sur un site internet
Enseignement secondaire, lycée
 A35Revues, article de revue, article sur un site internet
Enseignement supérieur, Post-Bac
 A38Revues, article de revue, article sur un site internet
Enseignement « Hors les Murs » : par correspondance, formation des adultes, popularisation, etc.
 F44Nombres entiers. Nombres rationnels. Opérations arithmétiques sur les nombres entiers, les fractions et les nombres décimaux. Extensions des domaines numériques.
Enseignement secondaire, lycée
 F45Nombres entiers. Nombres rationnels. Opérations arithmétiques sur les nombres entiers, les fractions et les nombres décimaux. Extensions des domaines numériques.
Enseignement supérieur, Post-Bac
 F48Nombres entiers. Nombres rationnels. Opérations arithmétiques sur les nombres entiers, les fractions et les nombres décimaux. Extensions des domaines numériques.
Enseignement « Hors les Murs » : par correspondance, formation des adultes, popularisation, etc.
 F64Théorie des nombres. Congruences. Nombres premiers.
Enseignement secondaire, lycée
 F65Théorie des nombres. Congruences. Nombres premiers.
Enseignement supérieur, Post-Bac
 F68Théorie des nombres. Congruences. Nombres premiers.
Enseignement « Hors les Murs » : par correspondance, formation des adultes, popularisation, etc.
 H34Théorie des équations et des inéquations
Enseignement secondaire, lycée
 H35Théorie des équations et des inéquations
Enseignement supérieur, Post-Bac
 H38Théorie des équations et des inéquations
Enseignement « Hors les Murs » : par correspondance, formation des adultes, popularisation, etc.
 

Résumé :

Ce numéro consacré à l'arithmétique est une sorte de manuel contenant à la fois des articles de vulgarisation, des anecdotes historiques concernant les mathématiciens cités, des fiches de cours dans lesquelles figurent des définitions et des théorèmes accompagnés de leur démonstration, des exercices et des problèmes classés par ordre de difficulté. Une bibliographie figure dans chacun des six chapitres.
Après un panorama sur l'histoire de l'arithmétique "de Hamourabi à Andrew Wiles", un chapitre entier est consacré aux nombres premiers dans lequel on y retrouve la démonstration historique de l'existence d'une infinité de nombres premiers ainsi qu'une démonstration de Polya, différentes quêtes d'arithméticiens pour trouver une formule fournissant tous les nombres premiers. Dans les chapitres suivant sur la divisibilité, les systèmes de numérations on prend conscience que les problèmes de codages de messages secrets ou d'informations numérisées (disque compact) doivent beaucoup à l'arithmétique. Un chapitre entier est consacré aux curiosités arithmétiques et un autre à la résolution d'équations en nombres entiers.

Sommaire :

1. L'ARITHMÉTIQUE, QUELLE HISTOIRE !
- "De Hamourabi à Andrew Wiles" par Marc Guinot
- "Quels nombres pour la théorie des nombres ?". Catherine Goldstein y montre que l'étude des entiers utilise les complexes, les p-adiques, et fait allusion à une récente "géométrie arithmétique". Elle insiste sur le rôle des idéaux...
- "Les arithméticiens en 10 questions".

2. LES NOMBRES PREMIERS
- Deux pages de "fiches de cours".
- Une page d'exercices, selon trois niveaux.
- "L'infinité des nombres premiers", où B.Rittaud ajoute à la démonstration historique une démonstration de Polya, que l'on retrouve d'ailleurs dans des livres de TS, à partir des nombres de Fermat. Les deux sont très belles !
- "Une formule pour les nombres premiers ?"... une quête à partir de Hardy, puis avec la jolie spirale d'Ulam, une allusion à Matijasevic et une formule simplifiée (8 lignes à peine !) de Jones..., quête conduite par Francis Casiro.
- "Rares, de plus en plus rares", où M. Mashaal nous fait déboucher sur une célèbre conjecture de Riemann.

3. DIVISIBILITÉ
- Trois pages de "fiches de cours", dont une sur les trois "grands" théorèmes de TS (démontrés) : Bézout, Gauss et son corollaire sur le cumul de deux divisibilités.
- Deux pages d'exercices.
- "Ces restes dont on peut se contenter"...qui induisent les congruences à partir desquelles Gilles Cohen nous conduit, par exemple, aux "puissances cycliques", au "petit théorème de Fermat", au théorème de Wilson...
- "Des critères de divisibilité" par Michel Criton qui, avec notamment l'appui du "petit théorème de Fermat", ouvre un large panorama...
- "La cryptographie moderne" : Guy Robin nous en donne des clés...
- "La loi de réciprocité quadratique" belle ascension, conduite par Roger Cuculière à partir du concept de résidu quadratique.

4. SYSTÈMES DE NUMÉRATION
- une page "fiche de cours"
- deux d'exercices et problèmes
- Quand les nombres font des cycles Ressource en ligne par Robert Ferréol, avec les conditions pour des périodes décimales maximales d'un rationnel.
- "La numération binaire", illustrée par Hervé Lehning, avec les codes correcteurs d'erreur, le jeu de Nim, les ponts de Königsberg.
- "Disque compact : la théorie c'est pratique" : une étude technico-arithmétique, par Odile Papini.

5. CURIOSITÉS MATHÉMATIQUES
- "La perfection faite nombre", fascinant voyage, avec Elisabeth Busser, parmi les ribambelles de nombres : les "parfaits", les "presque parfaits" (mais existent-ils ? nous disent Elisabeth et Sierpinski), les "déficients" et les "abondants", voire les "superabondants", les "semi-parfaits", les "étranges" (mais en existe-t-il un impair ?), les "amiables" et leurs chaînes, ... Des univers pour découvrir, s'émerveiller, s'interroger, ... et savoir qu'il y a toujours, de plus en plus, de terres inconnues...
- "Les développements égyptiens", par Ahmed Yahiatène, ... avec des critères d'identité issus d'études sur des suites...
- "Perdons-nous en conjectures" : Benoît Rittaud nous propose quatre conjectures (de Goldbach, Collatz (pour deux), Cramer), la très célèbre hypothèse de Riemann et trois autres problèmes, tous toujours non résolus...
- "Les approximations rationnelles", où Hervé Lehning nous entraîne, principe des tiroirs à l'appui, dans engrenages, approximations,...
- "Les tiroirs de Dirichlet", par F. Casiro et G.Cohen... Par exemple, utilisons-les pour montrer que, parmi (n + 1) entiers distincts inférieurs ou égaux à 2n, il en existe au moins deux tels que l'un divise l'autre...
- une page d'exercices et problèmes.

6. EQUATIONS EN NOMBRES ENTIERS
- "Des arithmétiques de Diophante à celle de Fermat", par André Deledicq.
- "La fameuse conjecture enfin vaincue", par G.Cohen-Zardi et E.Busser : Divers apports de Fermat en théorie des nombres, travaux sur sa "conjecture" ... Enfin, Wiles ! ...
- "La méthode de descente infinie", développée par Fermat à partir du fait qu'une suite d'entiers naturels strictement décroissante est forcément finie. Exemples par Hervé Lehning.
- A la recherche des racines évidentes , par Benoît Rittaud, ... jusqu'au "critère d'Eisenstein" sur les factorisations de polynômes.
- deux pages d'exercices et problèmes.

Notes : Attention ! Cette fiche est incomplète, aidez-nous à la compléter. Votre contribution

L'équipe de la revue Tangente a envoyé à ses abonnés un supplément de 32 pages contenant les corrigés des exercices de ce Hors-Série, des exercices complémentaires et des compléments sur l'équation de Pell, les idéaux de Kummer et la loi de réciprocité quadratique.
Ce Hors-Série est l'objet d'une recension sous la rubrique 'matériaux pour une documentation' du Bulletin de l'APMEP n° 417.

Voir le programme de mathématiques publié dans le BOEN Hors Série n° 4 du 12 juin 1997.

Mots clés :


© ADIREM-APMEP -2003- ISSN 1292-8054 Mise à jour 17/11/2020
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