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Titre : Mathématice. N° 57. A la pêche aux groupes avec Python.
Editeur : Sésamath Erôme, 2017
Type : article de périodique ou revue Langue : Français Support : internet
Public visé : enseignant, formateur Niveau Niveau scolaire visé par l'article : licence Age : 18, 19, 20
Classification : A39Revues, article de revue, article sur un site internet
Formation à l'enseignement, initiale et continue. H49Structures algébriques (groupes, anneaux, corps, algèbre)
Formation à l'enseignement, initiale et continue. P49Langages de programmation (classification des langages, éléments et caractéristiques des langages, processeurs)
Formation à l'enseignement, initiale et continue.
Dans cet article, l'auteur propose aux enseignants de mathématiques de lycée qui ont quelques souvenirs sur les groupes (il les aide à s'en rappeler) et ont commencé à s'intéresser à Python, une récréation amusante sur les groupes. Il s'agit d'écrire un programme capable de générer tous les groupes finis à isomorphisme près.
La structure d'un groupe G est contenue dans sa table de Pythagore. Si on numérote les éléments d'un groupe fini G d'ordre n, la table s'identifie à une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans {1 ; ... ; n}. Une étude rapide montre que dans une telle matrice, chaque ligne et chaque colonne est une permutation de (1;... ;n). Une telle matrice est appelée sudoku (dans cet article). Il est facile d'écrire un programme Python générant tous les sudokus d'un ordre donné, mais attention : un sudoku quelconque ne définit pas forcément un groupe. En revanche, si la loi interne définie par un sudoku est associative, alors on a affaire à un groupe. Tester une matrice pour savoir si elle est associative est facile avec Python. Nous proposons ici un programme capable de trouver tous les sudokus associatifs d'ordre inférieur ou égal à 6. Au delà de 6, les calculs prennent trop de temps. Ce programme fait ensuite un tri : on ne garde qu'un groupe par classe d'isomorphisme. Au final, on se retrouve avec la liste complète des groupes d'ordre inférieur ou égal à 6, à isomorphismes près.
Notes :
Il est possible de lire et répondre à cet article : http://revue.sesamath.net/spip.php?article1020
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