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Auteur(s) : Riblet Robin

Titre : Ensembles de petite somme et ensembles de Sidon, étude de deux extrêmes.
English title: Small sumsets and Sidon sets, the study of two extremal cases.

Editeur : Université de Lorraine Nancy, 2021
Format : A4, 171 p. Bibliogr. p. 170-171

Type : thèse, Mathématiques, Nancy, 2021 Langue : Français Support : papier

Public visé : chercheur, enseignant, formateur

Classification : A79Thèses et mémoires universitaires
Formation à l'enseignement, initiale et continue.
 F69Théorie des nombres. Congruences. Nombres premiers.
Formation à l'enseignement, initiale et continue.
 

Résumé : Abstract

Notre projet se situe dans le domaine de la combinatoire additive. Il s'agit plus précisément de déterminer la taille maximale d'un sous-ensemble A d'un groupe fini G qui ne contient pas de triplets (a,a+d,a+2d) d'éléments distincts. On dit alors que A est sans progression arithmétique. Une telle progression (PA3) est en fait un exemple à la fois simple et naturel de structure additive que l'on s'attend à trouver dans un ensemble « assez gros ». Toute la difficulté consiste à déterminer ce que « assez gros » signifie ici. La recherche de la taille maximale d'un ensemble sans progression arithmétique est un problème désormais classique en combinatoire additive. Elle a donné lieu à des travaux célèbres des meilleurs spécialistes du domaine. On distingue deux aspects du problème : la détermination d'une taille au-delà de laquelle on est assuré que A possède des PA3, ce qui donne une majoration de la taille maximale d'un ensemble sans PA3, et la construction de gros ensembles sans PA3, ce qui en donne une minoration. Nous insisterons plus particulièrement sur la construction d'ensembles sans PA3 dans les groupes finis Z_q^n avec q petit. On commencera par une optimisation numérique des ensembles de base utilisés dans les constructions déjà connues et une généralisation à d'autres entiers q. On cherchera également à adapter une construction de Ruzsa à ce contexte. Cela permettra d‘aborder les difficultés de manière progressive en commençant par des manipulations combinatoires sur un groupe de base de petit cardinal autorisant donc une approche numérique.

Notes :
Cette thèse est présentée dans Tangente n° 209 .

Une version texte intégral est en téléchargement sur le site https://hal.science/tel-03368154

Mots clés :


© ADIREM-APMEP -2003- ISSN 1292-8054 Mise à jour 24/01/2023
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