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Titre : Du mode d'existence des objets de la mathématique.
Editeur : Librairie Philosophique J. Vrin Paris, 2004
Collection : Problèmes et controverses
Format : 13,5 cm x 21,5 cm, 152 p. Bibliogr. pag. mult., Index p. 143-146
ISBN : 2-7116-1694-0 EAN : 9782711616947 ISSN : 0249-7875
Type : ouvrage (au sens classique de l'édition) Langue : Français Support : papier
Public visé : élève, enseignant, tout public Niveau Niveau scolaire visé par l'article : licence Age : 18, 19, 20
Classification : D75Philosophie et éthique des mathématiques et des disciplines connexes
Enseignement supérieur D79Philosophie et éthique des mathématiques et des disciplines connexes
Formation à l'enseignement, initiale et continue. E25Aspects philosophiques des fondements des mathématiques
Enseignement supérieur E29Aspects philosophiques des fondements des mathématiques
Formation à l'enseignement, initiale et continue. E35Logique
Enseignement supérieur E39Logique
Formation à l'enseignement, initiale et continue. E45Démarche axiomatique
Enseignement supérieur E49Démarche axiomatique
Formation à l'enseignement, initiale et continue.
Dans cet ouvrage, l'auteur nous invite à un voyage dans l'univers des objets, concrets ou abstraits, sur lesquels se concentre l'attention des mathématiciens.
C'est en logicien que l'auteur aborde cette question, en commençant par examiner, dans les deux premiers chapitres, ce qu'il en est des objets dont traite Euclide dans les Eléments. Après avoir relevé le très grand nombre d'objets introduits dans les livres consacrés à la géométrie, il note l'importance des prédicats monadiques associés à ces objets, comme "... est un point", mais aussi la présence de relation dyadiques (autrement dit binaires) comme "est perpendiculaire à", ou encore triadiques ou tétradiques (mettant en jeu quatre éléments), ce qui permet à Euclide de s'en tenir au premier ordre logique, ou l'on travaille seulement avec des objets auxquels s'appliquent des propriétés et des relations (des prédicats). Une conséquence en est, selon l'auteur, que les nombres n'ont pas de place dans les livres des Eléments consacrés à la géométrie, à l'exception du livre X où se trouve mises en regard la commensurabilité des grandeurs et la raison d'un nombre à un autre. Ceci tient au parti pris d'Euclide, qui considère les nombres comme s'ils étaient eux-mêmes des individus, l'unité étant elle-même une substance première, à partir de laquelle les autres nombres se construiraient par agglomération. Ce choix lui permet une fois encore de rester dans le premier ordre logique, mais conduit à une radicale hétérogénéité entre nombres et grandeurs souvent inaperçue par les mathématiciens modernes.
Dans le troisième chapitre, l'auteur donne quelques étapes du chemin parcouru depuis Aristote jusqu'aux Modernes, en passant par les mathématiciens arabes pour abandonner la rupture entre la mathématique des grandeurs géométriques et la mathématique des nombres et s'acheminer vers l'inclusion de l'ensemble des entiers naturels dans celui des nombres rationnels puis des réels. S'arrêtant ensuite sur le début du premier livre de La Géométrie de Descartes, il s'emploie à montrer que la mathématique a radicalement changé d'objet : en effet les objets qu'on y traite ne sont plus les grandeurs, mais des relations entre grandeurs, des fonctions, dont la nature essentielle échappe au premier ordre logique. Le chapitre IV, consacré aux désignations des écritures proprement mathématiques, complète le précédent en présentant principalement les innovations scripturaires de Descartes, qui ouvrent la porte à la considération de nouvelles formes d'existence, autres que celle des substances premières.
Dans le chapitre V, l'auteur attire notre attention sur les différentes finalités du recours à l'axiomatique. A côté des systèmes hypothético-déductifs, nécessitant une procédure irréductiblement axiomatique, dont la géométrie euclidienne est le modèle, on trouve des procédures axiomatiques pour l'établissement de systèmes auxquels on peut accéder également par la voie sémantique, comme le calcul des propositions ou l'arithmétique. L'auteur considère enfin une quatrième finalité de l'axiomatique qui consiste à définir des structures par un groupe d'axiomes exprimant des propriétés caractéristiques d'objets établies dans une théorie préexistante, comme c'est le cas par exemple pour les axiomes de groupe, ou de corps. Dans ce cas, la méthode axiomatique n'a d'autre finalité que de pouvoir appliquer les structures ainsi construites à des contextes divers. L'auteur souligne que cet intérêt pour les structures ne doit pas faire oublier que la mathématique a ses objets, même si ce ne sont pas des substances premières. La question de savoir si et comment existent les objets de la mathématique fait l'objet du chapitre de conclusion dans lequel, in fine, l'auteur, suivant Charles Hermite, reconnaît aux objets de la mathématique une certaine objectivité, même si ce n'est pas celle des fleuves et des montagnes.
Table des matières :
I De quoi parlait le géomètre grec
II De quoi parlait l'arithmétique euclidienne
III L'accession aux objets de la géométrie cartésienne
IV Les désignations des écritures proprement mathématiques
V Les différentes finalités du recours à l'axiomatique
VI Conclusion : Si et comment existent les objets de la mathématique.
Notes :
Cet ouvrage est publié avec le concours du Centre national du livre. Il a fait l'objet de différentes notes de lecture, en particulier sur le site Educmath : http://educmath.inrp.fr/Educmath/
Des repères bibliographiques sont donnés dans les notes de bas de page.
Mots clés :
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