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Titre : Repères-IREM. N° 63. p. 5-12. Inscrire un carré dans un triangle.
English title: Inscribing a square in a triangle. (ZDM/Mathdi)
Une version texte intégral est sur le site Bibliothèque numérique des IREM et de l'APMEP Télécharger
Editeur : TOPIQUES éditions Metz, 2006
Format : 16 cm x 23,7 cm, p. 5-12 Bibliogr. p. 12-12
ISSN : 1157-285X
Type : article de périodique ou revue Langue : Français Support : papier
Public visé : chercheur, enseignant, formateur Niveau Niveau scolaire visé par l'article : lycée, 2de Age : 15
Classification : A34Revues, article de revue, article sur un site internet
Lycée A39Revues, article de revue, article sur un site internet
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Lycée G49Géométrie plane et dans l'espace. Géométrie dans des espaces à n dimensions.
Formation à l'enseignement, initiale et continue.
Ce problème d'inscription d'un carré dans un triangle, fréquemment rencontré depuis cinq siècles dans la littérature mathématique, a d'abord été posé sous la forme d'une question ouverte aux élèves d'une classe de seconde, sans grand succès, à part la mise en évidence d'une sorte de méthode de "fausse position".
L'activité proposée comporte deux parties bien distinctes :
- La première partie, prétexte à l'étude d'un texte ancien, consiste à examiner la solution d'Etienne Bézout. L'intérêt de la méthode utilisée par ce mathématicien du XVIIIe siècle, outre le fait qu'elle est très "lisible", réside dans l'analyse qui est faite de la situation avant de donner une construction utilisant les triangles semblables (contrairement à beaucoup d'autres qui fournissent directement leur solution, comme Al-Khwarizmi ou Marolois, étudiés par P. Guyot 
dans le n° 51 de la revue Repères). C'est aussi un bon exemple d'application de l'algèbre à la géométrie, en dehors du cas classique du calcul de coordonnées dans un repère.
- La deuxième partie consiste à chercher une application à ce problème.
En écrivant de différentes manières la formule établie par Bézout, on aboutit à plusieurs modes de construction (triangles semblables, mais aussi utilisation d'un triangle rectangle, voire utilisation de la courbe de la fonction inverse) et on reconnaît une grandeur utilisée depuis l'Antiquité : la moyenne harmonique. Il reste alors à écrire la formule d'une dernière façon pour reconnaître le même problème, posé mais résolu différemment par Euclide dans "Les Eléments".
Notes :
Repères-IREM est la revue du réseau national des Instituts de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques (IREM), elle a été créée en octobre1990. De nombreux articles peuvent être utilisés en formation initiale des enseignants.
Tous les articles parus dans Repères-IREM sont consultables et téléchargeables librement en ligne sur le Portail des IREM, dès la parution du numéro, à partir de son sommaire : cliquez sur l'onglet "Repères IREM", puis sur "Consultation en ligne".
Vous pouvez aussi soumettre un article à la revue en l'adressant en document attaché au rédacteur en chef de la revue à l'adresse : reperes-irem@univ-irem.fr
Mots clés :
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