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Auteur(s) : Abdeljaouad Mahdi

Titre : Introduction à l'Arithmétique. Cours et exercices corrigés.

Editeur : Centre de Publication Universitaire Tunis, 2002, Tunisie Collection : Collection M / Sciences fondamentales
Format : 15,3 cm x 23,7 cm, 268 p. Index p. 262, Index p. 263-264, Bibliogr. p. 265-266

Type : monographie, polycopié Langue : Français Support : papier

Public visé : élève ou étudiant, enseignant Niveau Niveau scolaire visé par l'article : licence Age : 18, 19, 20

Classification : F65Théorie des nombres. Congruences. Nombres premiers.
Enseignement supérieur, Post-Bac
 F69Théorie des nombres. Congruences. Nombres premiers.
Formation à l'enseignement, initiale et continue.
 

Résumé :

L'auteur, qui est professeur à l'Institut supérieur de l'éducation et de la formation continue de l'université de Tunis, a choisi de s'écarter des présentations traditionnelles de l'arithmétique en proposant un ouvrage différent des manuels classiques. Tout en utilisant un langage moderne, il présente les concepts de l'arithmétique à la manière de leurs inventeurs en s'appuyant sur leurs propres raisonnements, en indiquant leurs questionnements et leurs doutes.
Le manuel expose à travers neuf chapitres plusieurs thèmes : division euclidienne, nombres premiers, congruences, formes quadratiques, décomposition en somme de carrés, factorisation des entiers, tests de primalité ...
Chacun des neuf chapitres est clairement subdivisé. Chaque partie s'articule autour d'un concept-clé ou d'un théorème fondamental, en un cours très structuré : problème bien posé, exemples et démonstrations, corollaires et applications, exercices – dont certains corrigés en fin de livre :

- Chapitre 1 : L'ensemble N (16 pages) : …, démonstration par récurrence, division euclidienne, PGCD, PPCM.

- Chapitre 2 : Les nombres premiers (30 pages) :
Définitions et propriétés (…, nombres jumeaux, …).
Théorème fondamental de l'arithmétique, avec présentation de la démonstration de Gauss.
Le "théorème d'Euclide" (infinité de l'ensemble des nombres premiers), et nombreux résultats annexes sur les nombres de la forme n ! + 1, les "repunités" (formés avec le seul chiffre 1), les 4k + 1 ou 4k + 3, le polynôme d'Euler, les nombres de Mersenne, de Fermat.
La répartition des nombres premiers, avec comparaison des approximations de Gauss et d'Hadamard.
Majoration du n-ième premier.

- Chapitre 3 : Nombres parfaits et nombres amiables (20 pages) : avec, notamment, le "théorème d'Euclide" sur la forme d'un nombre parfait et le théorème de Thabit ibn Qurra sur les nombres amiables.

- Chapitre 4 : L'arithmétique dans Z (14 pages) : avec, notamment, l'identité de Bézout, le "lemme de Gauss" (déjà vu au Chapitre 2), les équations diophantiennes linéaires.

- Chapitre 5 : Les congruences dans Z (24 pages) : étude bien menée, donne de nombreux outils.

- Chapitre 6 : Les théorèmes classiques (12 pages) : considéré "central" par l'auteur, ce chapitre traite des théorèmes de Fermat (le "petit"), de Lagrange, de Wilson, de Gauss, d'Euler (à partir de son "indicateur"), avec une incursion chez les nombres pseudo-premiers [définis par an a a (mod n)] débouchant sur ceux de Carmichael.

- Chapitre 7 : Formes quadratiques (22 pages) :
Formes, (avec une démonstration de Guinot).
Résidus quadratiques, avec mention finale et exemple d'application de la loi de réciprocité quadratique.

- Chapitre 8 : Décomposition en somme de carrés (40 pages) :
Triplets de Pythagore.
Décomposition en sommes de deux, trois (avec intervention des nombres triangulaires), ou quatre carrés (théorème de Lagrange).
Théorème de Fermat-Wiles, démontré pour l'exposant 4, à partir d'une application, par Fermat, de sa méthode de descente infinie. C'est, de plus, fort intéressant, par l'emploi des aires…
L'Annexe historique est, ici, particulièrement développée (12 pages).

- Chapitre 9 : Factorisation des entiers naturels (34 pages) :
Techniques de factorisation. Application aux nombres de Mersenne et de Fermat. Tests de primalité : de Lucas (deux), Wilson, Fermat, Pocklington, Miller-Rabin.

- Chronologie de l'arithmétique (10 pages) : L'évolution est vue à travers 64 courtes biographies. On y observe des prééminences successives des Grecs, des Arabes, d'Occidentaux, …

- Corrigés des exercices (15 pages) : Plus de 300 exercices sont proposés au fil des sous-chapitres. Des indications pour la résolution ou des solutions sont données pour un tiers d'entre eux dans cette partie.


Des références sont indiquées sur les recherches les plus récentes de nombres entiers de types particuliers : nombres de Mersenne, de Fermat, nombres parfaits, nombres amiables, etc. Des notices historiques complètent le cours. L'ouvrage comporte également une chronologie de l'arithmétique (p. 237-245), avec de courtes notices bibliographiques sur 63 mathématiciens de Pythagore à Andrew Wiles.

Notes :
Cet ouvrage est l'objet d'une recension dans le Bulletin de l'APMEP n° 441.

Cette publication est codiffusée par l'Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public (APMEP) : brochure 505.

Mots clés :


© ADIREM-APMEP -2003- ISSN 1292-8054 Mise à jour 18/11/2020
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