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Titre : Analyse mathématique. T. 3. Fonctions analytiques, différentielles et variétés, surfaces de Riemann
English title: Mathematical analysis. Vol. 3.

Editeur : Springer Paris, 2002
Format : 338 p. Index p. 327
ISBN : 3-540-66142-5

Type : ouvrage (au sens classique de l'édition) Langue : Français Support : papier

Public visé : élève, enseignant Niveau Niveau scolaire visé par l'article : master Age : 21, 22

Classification : I15Ouvrages généraux sur l'analyse et l'enseignement de l'analyse
Enseignement supérieur I19Ouvrages généraux sur l'analyse et l'enseignement de l'analyse
Formation à l'enseignement, initiale et continue. U25Manuels. Analyse, développement et évaluation des manuels.
Enseignement supérieur U29Manuels. Analyse, développement et évaluation des manuels.
Formation à l'enseignement, initiale et continue. 

Ce troisième volume expose la théorie classique de Cauchy dans un esprit orienté bien davantage vers ses innombrables utilisations que vers une théorie plus ou moins complète des fonctions analytiques. On montre ensuite comment les intégrales curvilignes à la Cauchy se généralisent à un nombre quelconque de variables réelles (formes différentielles, formules de type Stokes). Les bases de la théorie des variétés sont ensuite exposées, principalement pour fournir au lecteur le langage "canonique" et quelques théorèmes importants (changement de variables dans les intégrales, équations différentielles).
Un dernier chapitre montre comment on peut utiliser ces théories pour construire la surface de Riemann compacte d'une fonction algébrique, sujet rarement traité dans la littérature non spécialisée bien que n'exigeant que des techniques élémentaires. Un volume IV exposera, outre, l'intégrale de Lebesgue, un bloc de mathématiques spécialisées vers lequel convergera tout le contenu des volumes précédents: séries et produits infinis de Jacobi, Riemann, Dedekind, fonctions elliptiques, théorie classique des fonctions modulaires et la version moderne utilisant la structure de groupe de Lie de SL(2,R).

Mots clés :

• "algèbre linéaire"
• "application différentiable"
• "calcul différentiel"
• "calcul intégral"
• "champ de tenseurs"
• "champ de vecteurs"
• "changement de variable"
• "chemin de dimension p"
• "chemins homotopes"
• "composition de fonctions"
• "connexité (topologie)"
• dérivation
• difféomorphisme
• "différentielle partielle"
• "espace de Banach"
• "espace de Riemann"
• "espace topologique"
• "espace vectoriel"
• "exponentielle d'une matrice"
• "fonction algébrique"
• "fonction gamma"
• "fonction holomorphe"
• "fonction méromorphe"
• "fonction zêta de Riemann"
• "forme différentielle"
• "formule de Stirling"
• "formule de Stokes"
• homotopie
• "immersion (topologie)"
• "intégrale absolument convergente"
• "intégrale de Cauchy"
• "intégrale de Hankel"
• "intégrale de Riemann"
• "intégrale de Riemann-Stieltjes"
• "intégrale multiple"
• "intégrale semi-convergente"
• intégration
• "intégration le long d'un chemin"
• "longueur d'un chemin"
• "ouvrage universitaire"
• "pôle d'une fonction"
• primitive
• "primitive locale"
• "problème d'existence"
• "problème d'unicité"
• "problème de Dirichlet"
• "repère mobile"
• résidu
• "résidu à l'infini"
• "revêtement d'un espace topologique"
• "série de Laurent"
• "sphère de Riemann"
• subimmersion
• submersion
• "surface de Riemann"
• tenseur
• "théorème d'invariance par homotopie"
• "théorème de Dixon"
• "théorème de Paley-Wiener"
• "théorème des résidus"
• "théorème fondamental du calcul différentiel et intégral"
• "théorie de Cauchy"
• tore
• "transformation de Fourier"
• "transformation de Mellin"
• "variété différentiable"
• "vecteur tangent à une courbe"
• "zéro d'une fonction"

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