théorème de la médiane

théorème d'Apollonius

GEOMETRIE

1 - Le théorème de la médiane, ou théorème d'Apollonius, est une relation entre la longueur d'une médiane d'un triangle et la longueur de ses côtés.
Il existe plusieurs versions de ce théorème dont certaines font appel au produit scalaire.
- Dans le triangle ABC, soit I le milieu de [BC]. L'égalité vectorielles suivante est vérifiée : vect(AB) + vect(AC) = 2 vect(AI).

- théorème de la médiane : AB2 + AC2 = 2AI2 + (BC2)/2 (formule d'Apollonius de Perge ).
- ou : le produit scalaire AB. AC = (AI)2 - (BC)2/ 4
On en déduit que l'ensemble des points M du plan dont la somme des carrés des distances à deux points donnés B et C est constante est un cercle de centre I, milieu de [BC].

- Autre forme utilisant le produit scalaire : AB2 - AC2 = 2 vect(BC).vect(IH) où le point H est le pied de la hauteur issue du point A abaissée sur (BC).
D'où la relation : abs(AB2-AC2)=2 BC x IH.

2 - Théorème d’Apollonius peut aussi désigner un théorème concernant les coniques : Considérons un cône de révolution et soit (Π) le plan passant par le sommet du cône, parallèle au plan de section (q). Selon que (Π) contient 0, 1 ou 2 génératrices, on obtient une ellipse (E) ou un cercle, une parabole (P) ou une hyperbole (H).

Voir aussi :

Les Mathématiques aux concours.

Pour en savoir plus :

http://debart.pagesperso-orange.fr/geoplan/triangle_pt_caract.html
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_m%C3%A9diane
http://serge.mehl.free.fr/chrono/Apollonius.html

Aidez-nous à améliorer cette notice Mise à jour 18/04/2016 11h09