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Titre : Bulletin de l'APMEP. N° 410. p. 440-443. Du géométrique au numérique : Euclide - Dedekind, qui a inventé les réels ?
Une version texte intégral est sur le site Bibliothèque numérique des IREM et de l'APMEP Télécharger
Editeur : 
Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public (APMEP) Paris, 1997
Format : A5, p. 440-443 ISSN : 0240-5709
Type : article de périodique ou revue Langue : Français Support : papier
Public visé : chercheur, enseignant, formateur
Classification : A39Revues, article de revue
Formation à l'enseignement, initiale et continue. D29Histoire et épistémologie des mathématiques jusqu'au 16e siècle
Formation à l'enseignement, initiale et continue. D39Histoire et épistémologie des mathématiques des 17e et 18e siècles
Formation à l'enseignement, initiale et continue. D49Histoire et épistémologie des mathématiques à partir du 19e siècle
Formation à l'enseignement, initiale et continue. F59Nombres réels, complexes et hypercomplexes
Formation à l'enseignement, initiale et continue.
La propriété de Thalès figure comme Proposition 2 du Livre VI des Eléments. Sa démonstration élémentaire par la méthode des aires semble très accessible. Pourquoi Euclide ne la présente-t-il pas plus tôt ?
En réalité, les rapports de Thalès peuvent être ceux de grandeurs incommensurables. Ils nécessitent donc la théorie des proportions pour être définis. La définition 6 décrit les conditions dans lesquelles on pourra conclure à l'égalité de deux rapports de grandeurs, ou égalité de leurs "raisons".
Mais qu'est-ce qu'une raison ? Euclide, qui en donne le mode d'emploi, est bien incapable de le définir, et pour cause : une raison est un nombre réel, dans toute sa généralité. Legendre montrera au début du 19e siècle toute la difficulté qui se cache derrière la formule de l'aire du rectangle, renvoyant au problème de la mesure des grandeurs.
La construction des réels ne sera effective qu'en 1872, par Dedekind qui s'est largement inspiré de l'oeuvre d'Euclide pour fonder sa théorie des coupures, le problème de la mesure des grandeurs attendra Lebesgue en 1905 pour trouver une réponse satisfaisante.
Notes :
Cet article est publié sous la rubrique "Les ateliers".
Ce numéro contient les textes des conférences et des comptes rendus de divers ateliers des Journées Nationales APMEP qui se sont tenues en 1996 à Albi.
Le Bulletin de l'APMEP (appelé "Bulletin Vert") s'efforce, par des articles de fond : de couvrir l'actualité de l'enseignement des mathématiques de la maternelle à l'université, de contribuer à la formation approfondie des enseignants, d'entretenir, chez ceux-ci, l'esprit de recherche et de susciter des échanges avec ses lecteurs.
Il paraît 5 fois par an de sa création à 2018, année où suite à un changement de politique éditoriale, l'APMEP publie une revue unique Au Fil des Maths - le Bullletin de l'APMEP.
Mots clés :
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