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Titre : En cheminant avec Kakeya. Un voyage au coeur des mathématiques actuelles.
Editeur : Université de Lyon 1 Lyon, 2011
Format : A4, 131 p.
Type : ouvrage (au sens classique de l'édition) Langue : Français Support : internet
Public visé : élève, enseignant Niveau Niveau scolaire visé par l'article : lycée, 1re, terminale, licence Age : 16, 17, 18, 19, 20
Classification : I94Analyse : divers
Lycée I95Analyse : divers
Enseignement supérieur I98Analyse : divers
Enseignement Hors les Murs : par correspondance, formation des adultes, popularisation, etc.
Cet ouvrage comporte huit chapitres :
1 Une question anodine ?
2 La dérivation
3 Le calcul intégral
4 La formule de Stokes
5 Les équations différentielles
6 Le théorème de Besicovitch
7 La conjecture de Kakeya
8 Perspectives
Sôichi Kakeya est un mathématicien japonais qui, au début du 20e siècle, posa la question : "Quelle est la plus petite surface à l'intérieur de laquelle il est possible de déplacer une aiguille de manière à la retourner complètement ?"
A travers cette question d'apparence anodine, les auteurs nous font visiter de larges pans des mathématiques : tout d'abord la géométrie, pure ou analytique, à travers les essais de surfaces d'aires de plus en plus réduites répondant à la question : disque, triangle curviligne de Reuleaux, deltoïde, astroïde, enveloppes de droites, etc. Puis le calcul différentiel, puisqu'il s'agit d'un problème de minimisation ; et le calcul intégral, puisqu'il faut calculer des aires. Ces outils s'avérant insuffisants pour résoudre complètement le problème, on aborde les intégrales curvilignes, les équations différentielles, les systèmes dynamiques, les problèmes de billards, les dimensions fractales, les surfaces d'aire nulle, le chaos, les espaces de dimension supérieure à 3, et même la répartition des nombres premiers et l'hypothèse de Riemann ! Sont cités des résultats très récents (2006) et des questions encore ouvertes.
Le tout est traité de façon résolument historique, avec présentation et situation dans leur époque de nombreux protagonistes : Archimède, Descartes, Euler, Newton, Leibniz, Stokes, Poincaré, etc. Partout les idées sont mises en avant, les techniques et procédés de calcul gardant leur juste place d'outils au service de la pensée ; l'intuition et l'imagination précèdent la démonstration ; la démarche va toujours du particulier vers le général. L'accent est mis sur les "grands problèmes", et sur les connexions entre domaines éloignés. A mesure que l'on s'approche des savoirs contemporains, la complexité des notions contraint les auteurs à revenir peu à peu au niveau de la vulgarisation, au sens noble du terme, celle qui donne envie d'aller plus loin.
Pistes d'utilisation en classe :
Un devoir à faire à la maison en classe de 3e est proposé sous la rubrique "Coup de coeur pour un livre numérique" de PLOT n° 39.
Notes :
Une nouvelle édition 
a été réalisée en 2014.
Une version texte intégral est en téléchargement sur le site http://math.univ-lyon1.fr/~borrelli/Kakeya.html
Mots clés :
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