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Titre : La règle dans tous ses états.
Editeur : IREM de Montpellier, Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public (
APMEP), Montpellier, 2005
Collection : Publication de l'APMEP Num. 165
Format : 17 cm x 24 cm, 112 p. Bibliogr. p. 88-90
ISBN : 2-912846-42-0 EAN : 9782912846426 ISSN : 0291-0578
Type : document pour la classe issu de travaux de groupe de travail Langue : Français Support : papier
Public visé : enseignant, formateur Niveau Niveau scolaire visé par l'article : lycée, 1re, Terminale, licence Age : 16, 17, 18, 19
Classification : C34Processus cognitifs
Lycée C35Processus cognitifs
Enseignement supérieur C39Processus cognitifs
Formation à l'enseignement, initiale et continue. C74Pratiques d'enseignement
Lycée C75Pratiques d'enseignement
Enseignement supérieur C79Pratiques d'enseignement
Formation à l'enseignement, initiale et continue. H24Algèbre élémentaire, calcul algébrique
Lycée H25Algèbre élémentaire, calcul algébrique
Enseignement supérieur H29Algèbre élémentaire, calcul algébrique
Formation à l'enseignement, initiale et continue. U34Ressources pour l'enseignant
Lycée U35Ressources pour l'enseignant
Enseignement supérieur U39Ressources pour l'enseignant
Formation à l'enseignement, initiale et continue.
Un élève écrit "(a-b)2=a2-b2", ce type d'erreur dans l'utilisation d'une règle apparaît fréquemment et est bien connu des enseignants. Les auteurs ont, dans cette brochure, cherché à comprendre pourquoi, malgré la durée des apprentissages tout au long du collège et du lycée, certaines erreurs dans l'utilisation des règles apparaissent et persistent.
Pour cela, ils ont cherché à mieux cerner la signification du mot règle hors des mathématiques, puis dans les mathématiques en étudiant les programmes et des manuels anciens et actuels.
Ensuite, ils ont utilisé certains concepts de la didactique pour approcher le rapport personnel de l'élève à la règle. De plus, ils ont analysé des comportements d'élèves de façon à comprendre les raisons de leurs erreurs.
Ce travail leur a permis de dégager des hypothèses qui expliquent et permettent des choix didactiques avant d'envisager des démarches de remédiation appropriées.
Chapitre 1. D'abord "la problématique" (6 pages) :
A partir d'un exemple (sur (a-b)2 et (a2-b2), l'introduction situe d'emblée le débat : "Dans le cursus scolaire, il y a une quinzaine de règles du calcul algébrique que l'on retrouve dans les mémentos de manuels. Elles constituent l'une des parties essentielles des savoirs institutionnels enseignés en algèbre, du collège au lycée.
Quelles sont, malgré la durée de ces apprentissages, les raisons qui font que [les] erreurs dans l'utilisation des règles apparaissent et persistent ?".
De quoi s'intéresser à la forme des signifiants algébriques, à l'invariance d'écritures algébriques quant à leur "dénotation" et à leur "sens", à ce que donnent à voir les expressions algébriques (un carré pour (a-b)2, mais une somme [ou ...] pour a2-2ab+b2), ...
Surgit une interrogation : "Pourquoi l'élève [qui transforme une expression algébrique] n'a-t-il pas l'initiative, pour contrôler l'égalité des résultats, de remplacer les lettres par des valeurs numériques ?". Que peut-il en déduire ? Qu'en déduit-il ?
Cela est-il pris en charge par l'enseignement ? Les auteurs pensent que non... S'intéressant aux significations de l'égalité et au calcul pervers de (5+3)2 par référence à (a+b)2, les auteurs regrettent que "le traitement des expressions littérales et le calcul numérique se développent [... comme s'ils ne pouvaient pas] être reliés".
Mais quelle conception l'élève a-t-il de la mise en oeuvre d'une règle ? "Comment fonctionnent-elles dans les mathématiques ? Mais aussi, comment sont-elles données à voir et à utiliser par les élèves ?"... Or, "l'apprentissage d'une règle suppose sa connaissance en tant qu'objet et son utilisation en tant qu'outil [...], autrement dit de ce qu'elle est et de la manière dont elle opère"...
Chapitre 2. La règle dans tous ses états (8 pages) :
- Origine du mot. Termes proches. Contextes divers (l'art, le jeu, ...). Les règles dans le contexte mathématique : constitutives d'une théorie, normatives ou conventions, de formation d'écritures, d'usage, de déduction, procédurales.
- Tout cela est décrit à partir d'une multitude d'exemples...
- "Ce repérage des divers types de règles va permettre de mieux analyser les stratégies d'enseignement à leur propos : ... Doit-on enseigner des règles ? Lesquelles et comment ? Comment les énoncer, en contrôler l'apprentissage ?". Cela va faire l'objet des chapitres 3 et 4.
Chapitre 3. L'apport institutionnel à l'objet règle... (21 pages) : Trois sous-chapitres :
3.1. Période actuelle, au collège, au lycée, ...
3.2. À travers huit livres de Quatrième, règles pour la résolution de l'équation du premier degré à une inconnue et le cosinus d'un angle aigu.
3.3. Dans les périodes anciennes, un intéressant panorama à partir de douze livres (de 1757 à la fin du XIXe siècle)...
Chapitre 4. Rapport personnel de l'élève à la règle (41 pages) :
Vers ce rapport. Ses composantes. Les pratiques dominantes en France. Le registre algébrique (..., signes, ... transformations d'expressions algébriques "muettes et automatisées" ..., ... aspect cognitif ..., ... lecture de l'écrit ..., ... difficultés du traitement algébrique ...). L'aspect cognitif (connaissances nécessaires ..., "créations de règles-élèves par analogie, adaptation, glissement", modes inductif et déductif, aspect socioculturel). Composante épistémologique. "Analyse de productions d'élèves et repérage des conceptions des élèves" (autour de (a+b)2=a2+2ab+b2 - avec extension au cube -, fraternisations avec a2-b2, ... extension à (a+b+c)2, ..., tests sur x2=a, commentaires et entretiens, ...
Chapitre 5. Conclusion (4 pages) :
Les auteurs y constatent, notamment, que "l'écrit algébrique, trop souvent réduit à des algorithmes, semble être un objet mathématique transparent" alors qu'il s'agit "d'un milieu antagoniste pour l'élève, dans lequel, la plupart du temps, ce dernier développe des adaptations pour répondre à la demande des enseignants".
Ils souhaitent des élucidations et que les élèves soient capables d'engager un débat scientifique pour prouver le vrai ou le faux, repérer les fameuses "règles-élève", ...
Ils espèrent provoquer "des interrogations chez le professeur et permettre un autre regard sur les difficultés et les erreurs des élèves".
Annexes (18 pages) relatifs aux ouvrages étudiés et aux tests : Tableaux ; citations ; résultats des tests ; ...
Notes :
Cette brochure est l'objet d'une présentation dans le Bulletin de l'APMEP n° 457.
Mots clés :
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