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Titre : Promenades Mathématiques. Histoire. Fondements. Applications.

Editeur : Ellipses Paris, 2003
Format : 17,4 cm x 24 cm, 452 p. Bibliogr. p. 443-446, Index p. 447-451
ISBN : 2-7298-1417-5

Type : ouvrage (au sens classique de l'édition) Langue : Français Support : papier

Public visé : chercheur, élève, enseignant Matériel utilisé : Excel, Chamois, Maple

Classification : D29Histoire et épistémologie des mathématiques jusqu'au 16e siècle
Formation à l'enseignement, initiale et continue. D39Histoire et épistémologie des mathématiques des 17e et 18e siècles
Formation à l'enseignement, initiale et continue. D49Histoire et épistémologie des mathématiques à partir du 19e siècle
Formation à l'enseignement, initiale et continue. D59Histoire et épistémologie des disciplines connexes
Formation à l'enseignement, initiale et continue. 

Galilée disait "le monde est écrit en langage mathématique"...
Après "une brève histoire des mathématiques" (31 p.) dans laquelle sont abordées quelques notions de philosophie des sciences tout en donnant un caractère historique général allant de l'Antiquité à nos jours, l'auteur, dans chacun des 12 chapitres suivants, traite un certain nombre d'exemples d'intérêt soit historique, soit culturel, soit méthodologique sans oublier des rappels de cours couvrant l'essentiel des connaissances nécessaires et propose pour s'approprier ces notions et les expérimenter 350 illustrations correspondant à des fichiers Excel, Chamois, Maple téléchargeables sur le site http://promenadesmaths.free.fr/ (l'ouvrage se termine par deux fiches techniques d'utilisation de Chamois et Excel)

Ce livre a été a écrit en pensant à tous ceux qui se demandent "à quoi ça sert les maths ?" et pour qui la signification profonde de cette discipline est occultée par sa difficulté technique. Il es conseillé de ne pas lire cet ouvrage de façon linéaire mais en fonction des thèmes que l'on souhaite aborder :

- Arithmétique (34 p.)
Ce chapitre d'initiation examine quelques problèmes et méthodes qui semblent porteuses d'avenir et de questions : la théorisation de la musique depuis Pythagore jusqu'à Boulez ; le Théorème de Bachet ou de Bézout ; Diophante, précurseur de génie, quelques idées sur les équations diophantiennes ; le théorème des restes chinois ; la descente infinie : Fermat ; la cryptographie Rivest, Sharon et Adelman ; les fractions continues, mais aussi l'hypothèse de Riemann, les nombres p-adiques.

- Suites et séries (12 p.)
De Zénon à Mendès-France et Syracuse, les bases de l'Analyse et quelques méthodes fondamentales y sont expliquées : Zénon, la Flèche et Achille ; emprunt de l'argent sans risque ; Fibonacci et ses lapins ; ce Newton à Weierstrass en passant par Cauchy, les séries ; nombres de Bernoulli et polynômes du même nom ; les suites de Michel Mendès-France ; Syracuse.

- Algèbre (30 p.)
En commençant sur les constructibilités, ce chapitre donne un aperçu de l'algèbre classique : résolution d'équations du second degré avec des cercles et des droites, du troisième degré insoluble à la règle et au compas... (résolution de "Cardan", trisection de l'angle, une résolution géométrique par Descartes), du quatrième degré ; puis aborde les complexes, le théorème fondamental de l'algèbre, la notion de groupe, les coûts et prix, les symétries en physique, l'algèbre linéaire que les quaternions.

- Fonctions (34 p.)
Ce chapitre rassemble ce que tout bon scientifique devrait savoir dans ce domaine qui est très vaste et fut au coeur du développement de l'analyse moderne : les fonctions et les dérivées ; l'analyse non standard, autre manière de voir le calcul différentiel dont Newton et Leibniz en sont co-inventeurs du calcul différentiel ; plusieurs applications pratiques de l'emploi des fonctions et des dérivées, quelques applications des fonctions en Economie

- Intégrales (24 p.)
L'autre facette du Calcul Différentiel est l'Intégration dont les utilisations sont permanentes. On retrouve la fonction ainsi que son intégrale dans de nombreux domaines. On prolonge les idées du calcul différentiel au champ complexe. Quelques applications classiques de l'intégration en physique et en économie : tractrice, caténaire, ..., Fresnel et Fraunhofer, Lorenz et Gini.

- Fonctions transcendantes (36 p.) avec beaucoup d'applications (en physique, astronomie, économie).

- Géométrie (62 p.)
La Géométrie a continué à se développer dans plusieurs directions au cours des siècles d'Eratosthène, Aristarque, Apollonius, ... à la géométrie projective, mais aussi, avec les coniques, une dizaine de courbes variées (spirales, cycloïdes, conchoïdes, lemniscate, ...) et pas mal d'optique (équerre et fibre optiques, mirages, ...). Les problèmes de perspective tout d'abord ont finalement abouti à l'axiomatisation de Hilbert et Bourbaki. Quand aux géométries non-euclidiennes elles ont trouvé un débouché inattendu avec la Relativité.

- Equations différentielles (48 p.)
Les équations différentielles se retrouvent dans pratiquement tous les domaines des sciences : "la courbe du chien" mais aussi "la rumeur" et pas mal de chimie, biologie, en terminant sur les systèmes de Lotka-Volterra.

- Fractales et chaos (22 p.)
Les fractales et le chaos sont des thèmes récents et différents : les fractales géométriques, construites par itération d'une même figure sont faciles à construire ; le chaos fait apparaître des fractales, mais c'est un sujet encore plus vaste... ; les agrégats sont des phénomènes liés au mouvement brownien et que l'on retrouve dans beaucoup de phénomènes ; la percolation ; loi de Verhulst et arbre de Feigenbaum ; "la transformation du boulanger" purement déterministe donne une impression de chaos ; les attracteurs : Lorenz, Hénon...

- Fourier, les ondes, la transformée (22 p.), avec Dirac, les ondelettes, l'équation de la chaleur, ...
La transformée de Fourier est un des outils mathématiques les plus utilisés : le phénomène de Gibbs a déclenché une série de questions fondamentales ; le rond et le carré ; des applications de la transformée de Fourier de la fonction de Laplace-Gauss, la fonction de Cauchy, de la fonction de Dirac ; le théorème d'échantillonnage de Shannon ; l'équation de la chaleur dans une barre.

- Probabilités et statistiques (48 p.)
Quelques problèmes anciens, définitions et méthodes de base .

- Relativité (restreinte et généralisée) et mécanique quantique (32 p.)
A la suite des travaux de Maxwell, Lorentz et Poincaré on s'est demandé ce qui arrivait aux équations de Maxwell dans un repère en mouvement uniforme par rapport à un autre repère. La réponse fut alors qu'il fallait modifier profondément nos conceptions de l'espace et du temps...

Notes :
Cet ouvrage est l'objet d'une recension dans la rubrique "matériaux pour une documentation" du Bulletin de l'APMEP n° 450. Cette publication est diffusée par l'Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public (APMEP) : brochure n° 973.

Mots clés :

• agrégat
• "ajustement linéaire"
• "analyse non standard"
• "approximation de pi"
• astroïde
• axiomatisation
• B-Spline
• "binôme de Newton"
• birapport
• "calcul de volume"
• "calcul différentiel"
• "calcul intégral"
• caustique
• "centre de gravité"
• chaînette
• chaos
• chiffrement
• "circonférence de la Terre"
• cissoïde
• "code RSA"
• "concept d'infini"
• "concept de dérivée"
• "concept de primitive"
• conchoïde
• conique
• "convergence d'une suite de fonctions"
• "convergence d'une suite numérique"
• "convergence uniforme"
• "courbe de Bézier"
• "courbe de Lorenz"
• "courbe isochrone"
• "courbure d'une courbe plane"
• "courbures d'une surface"
• "croissance exponentielle"
• "culture générale"
• "culture mathématique"
• "culture scientifique"
• cycloïde
• "dérivée partielle"
• "développée d'une courbe"
• "développement en fraction continue"
• "développement en série"
• "développement en série de Taylor"
• "distribution de Dirac"
• "division harmonique"
• "ensemble de Julia"
• "ensemble de Mandelbrot"
• "enveloppe d'une famille de courbes"
• épicycloïde
• "épistémologie des mathématiques"
• "épistémologie des sciences"
• "équation différentielle"
• "équation différentielle du premier ordre"
• "équation différentielle du second ordre"
• "équation différentielle homogène"
• "équation différentielle linéaire"
• "équation diophantienne"
• "équation du second degré"
• "équation du troisième degré"
• "équation quartique"
• "espérance mathématique"
• estimateur
• estimation
• "flocon de von Koch"
• "fonction caractéristique"
• "fonction exponentielle"
• "fonction hyperbolique"
• "fonction logarithme"
• "fonction numérique"
• "fonction transcendante"
• "fonction trigonométrique"
• "fonction trigonométrique réciproque"
• "formule d'Euler-Maclaurin"
• "formule de Bayes"
• "formule de Cardan"
• "formule de Stirling"
• "formule de Taylor"
• "formule du binôme généralisée"
• "fraction continue"
• géodésique
• "géométrie analytique"
• "géométrie de Lobatchevski-Bolyai"
• "géométrie fractale"
• "géométrie non euclidienne"
• "géométrie projective"
• "géométrie sur la sphère"
• "gradient d'une fonction"
• "groupe - structure algébrique -"
• "groupe de permutations"
• "groupe de transformations"
• "groupe linéaire"
• "histoire de l'algèbre"
• "histoire de l'arithmétique"
• "histoire de la mécanique quantique"
• "histoire des mathématiques"
• "histoire des probabilités"
• "histoire des sciences"
• "histoire du calcul intégral"
• "hypothèse de Riemann"
• "identité de Bézout"
• "indice de Gini"
• "inégalité de Bienaymé-Tchebychev"
• "intégrale de Gauss"
• "intégrale de Leibniz"
• "intégrale de Riemann"
• "intégrale de Wallis"
• "intégration dans le plan complexe"
• "interpolation polynomiale de Lagrange"
• "interpolation polynomiale de Newton"
• "invariant en géométrie"
• lemniscate
• "limite d'une fonction"
• "loi binomiale"
• "loi de Cauchy"
• "loi de Laplace-Gauss"
• "loi de Poisson"
• "loi de probabilité continue"
• "loi de probabilité discrète"
• "loi des grands nombres"
• "loi du Khi2"
• "loi géométrique"
• "loi hypergéométrique"
• "loi multinomiale"
• "loi uniforme"
• loxodromie
• "mathématiques à la Renaissance"
• "mathématiques et biologie"
• "mathématiques et chimie"
• "mathématiques et cristallographie"
• "mathématiques et économie"
• "mathématiques et musique"
• "mathématiques et optique"
• "mathématiques et physique"
• "mathématiques grecques"
• "méthode de descente infinie"
• "méthode de la variation de la constante"
• "méthode de Monte-Carlo"
• "méthode des moindres carrés"
• "méthode des tangentes"
• "méthode par séparation des variables"
• "mouvement brownien"
• "nombre complexe"
• "nombre de Bernoulli"
• "nombre p-adique"
• "nombre premier"
• "notion de continuité"
• "objet fractal"
• ondelette
• "ovale de Cassini"
• "paradoxes de Zénon"
• "paramètre de dispersion"
• "phénomène de Gibbs"
• polyèdre
• "polynôme de Bernoulli"
• "probabilité conditionnelle"
• "problème de Hasse"
• "problème lié à l'économie"
• "projection stéréographique"
• "quadrature d'une hyperbole"
• quaternion
• "résolution d'une équation"
• "résolution géométrique"
• "série de Fourier"
• "série de Riemann"
• "série entière"
• "série numérique"
• spirale
• "suite de Fibonacci"
• "suite définie par récurrence"
• "suite numérique"
• "table de logarithmes"
• "taux d'intérêt"
• "test d'hypothèse"
• "théorème central limite"
• "théorème de Dandelin"
• "théorème de Desargues"
• "théorème de Fermat"
• "théorème de la raréfaction des nombres premiers"
• "théorème de Liouville"
• "théorème de Pappus"
• "théorème de Shannon"
• "théorème des accroissements finis"
• "théorème des restes chinois"
• "théorème fondamental de l'algèbre"
• "théorie de la relativité générale"
• "théorie de la relativité restreinte"
• "transformation de Fourier"
• "transformation de Fourier rapide"
• "trisection d'un angle"
• "utilisation d'un logiciel de géométrie"
• "utilisation d'un tableur"
• "variable aléatoire"
• "variables aléatoires indépendantes"
• "zéro d'un polynôme"

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