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Titre : Les métamorphoses du calcul. Une étonnante histoire des mathématiques.
Editeur : Le Pommier Paris, 2007
Collection : Essais et documents
Format : 13,5 cm x 20 cm, 223 p. Bibliogr. p. 215-219, Index p. 221-224
ISBN : 2-7465-0324-7 EAN : 9782746503243
Type : monographie, polycopié Langue : Français Support : papier
Public visé : tout public
Classification : E2Aspects philosophiques des fondements des mathématiques E3Logique E5Raisonnements et démonstrations en mathématiques
Résumé :Socle même de la méthode mathématique depuis l'Antiquité grecque, la notion de démonstration s'est profondément transformée depuis la fin du XXe siècle. Plusieurs avancées mathématiques importantes, non toujours connectées les unes aux autres, remettent ainsi progressivement en cause la prééminence du raisonnement sur le calcul, pour proposer une vision plus équilibrée, dans laquelle l'un et l'autre jouent des rôles complémentaires. Cette véritable révolution nous amène à repenser le dialogue des mathématiques avec les sciences de la nature. Elle éclaire d'une lumière nouvelle certains concepts philosophiques, comme ceux de jugement analytique et synthétique.
Dans cet ouvrage composé de trois parties, l'auteur nous donne quelques éléments pour comprendre l'évolution des mathématiques des premiers raisonnements mathématiques à la démonstration automatique utilisée en informatique. Il nous amène à réfléchir sur les liens entre les mathématiques et l'informatique et la possibilité maintenant offerte de dépasser les limites en taille des démonstrations mathématiques.
Après une introduction : Les mathématiques à la conquête de nouveaux espaces, l'ouvrage comporte trois parties :
- I Une origine ancienne :
1. De la préhistoire des mathématiques aux mathématiques grecques (comptables et arpenteurs, irruption de l'infini, philosophes et mathématiciens).
2. Deux mille ans de calcul (algorithme d'Euclide, théorème de Thalès, les discours et les actes, l'écriture positionnelle, le calcul intégral).
II L'âge classique :
3. La logique des prédicats (jugements synthétiques a priori, notions de nombre, de concept et de proposition, logique de Frege, prédicats et ensembles, axiomes).
4. Du problème de la décision au théorème de Church (nouveaux algorithmes, élimination de l'infini, problème de l'arrêt).
5. La thèse de Church (forme physique, mathématisabilité de la nature).
6. Une tentative de donner sa place au calcul en mathématiques : le lambda-calcul.
7. La constructivité (le constructivisme, la résolution de la crise).
8. Les démonstrations constructives et les algorithmes (élimination des coupures, fonctions et algorithmes, démonstrations constructives comme algorithmes).
III. La crise de la méthode axiomatique :
9. La théorie intuitionniste des types (égalité par définition et jugements analytiques, démonstrations courtes à écrire longues à vérifier).
10. La démonstration automatique (fantasme des machines intelligentes, « résolution » et paramodulation, transformer les axiomes d'égalité en règles de calcul, théorie des types de Church).
11. La vérification des démonstrations (Automath, calculable mais après coup, correction des programmes).
12. Des nouvelles du terrain (quatre couleurs, calcul formel, comprendre pourquoi, taille des démonstrations et théorème de Church, nouveaux espaces).
13. Les instruments (résultats expérimentaux en mathématiques, construire les instruments, l'ordinateur et le millionnaire).
14. En finir avec les axiomes ?
et s'achève par une conclusion, dix pages de repères bibliographiques dans l'ordre chronologique, une bibliographie détaillée chapitre par chapitre et un index.
Notes :
Gilles Dowek a reçu le Grand Prix de philosophie 2007 de l'Académie française pour cet ouvrage.
Cet ouvrage est l'objet d'une recension sous la rubrique "pour un inventaire" du Bulletin de l'APMEP n° 485 ainsi que l'objet d'une présentation sous la rubrique "Notes de lecture" de la revue Tangente n° 116.
Mots clés :
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