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Titre : L'utilisation des quantificateurs universel et existentiel en première année universitaire entre l'explicite et l'implicite.
Editeur : IREM de Lyon Villeubanne, 2005
Format : A4, 323 p. ISBN : 2-906943-56-8
Type : thèse, Didactique des mathématiques, Lyon, 2004 Langue : Français Support : papier
Public visé : chercheur, enseignant, formateur Niveau Niveau scolaire visé par l'article : licence Age : 18
Classification : A7Thèses et mémoires postdoctoraux C2Recherches en didactique des mathématiques E3Logique
Résumé :Ce travail comporte deux parties mettant à jour une étude théorique et didactique autour du concept de la quantification. Le travail s'inscrit dans le cadre de recherches sur l'imbrication des éléments de logique dans un raisonnement mathématique dans une perspective didactique. En accord avec Durand-Guerrier, l'auteur soutient la thèse selon laquelle la logique de référence pertinente pour les analyses est le calcul des prédicats.
Le premier chapitre est consacré à un cadre théorique de référence développé en didactique des mathématiques pour analyser les questions liées à la quantification, ceci a permis de situer l'axe de recherche suivant des directions pertinentes pour la suite du travail.
Au chapitre 2 l'auteur mène une enquête épistémologique à partir des textes fondateurs (Aristote, Leibniz, Frege, Russell et Quine) mettant en valeur la naissance et le lien du concept de la quantification avec des théories philosophiques qui montrent la complexité et la polysémie des quantificateurs dans le langage formel et le langage naturel. Une étude théorique sur le formalisme mathématique au chapitre 3 permet d'interpréter les situations mathématiques en adoptant un modèle logique pertinent dans le calcul des prédicats comme outil didactique pour analyser l'articulation entre logique et mathématique.
Le chapitre 4 est consacré à une première expérimentation, permettant d'étudier à travers un exercice la gestion des quantificateurs universel et existentiel entre l'explicite et l'implicite, des étudiants de première année universitaire. Cette étude confirme la grande sensibilité des résultats aux contenus, des difficultés dans la production d'un argument mathématique et des phénomènes liés à la dépendance des lettres variables. Ceci conduit à approfondir les analyses didactiques en choisissant un objet sensible enseigné à l'université, la notion de borne supérieure. Cette étude fait l'objet de la deuxième partie de la thèse.
Le chapitre 5 permet d'introduire cette partie en motivant le choix d'objet, en balisant une étude épistémologique sur la construction des nombres irrationnels par la notion de coupure et en décrivant une situation de travail sur le point fixe. En s'appuyant sur le calcul des prédicats, l'auteur a effectué une formalisation logique des objets et des structures qui interviennent dans la définition de l'objet borne supérieure. Ce travail illustre la thèse de Quine selon laquelle l'enrégimentement des énoncés dans le calcul des prédicats est la pierre de touche de la clarté conceptuelle. Ceci a conduit à développer les ostensifs symboliques et graphiques nécessaire pour l'étude de cet objet.
Le chapitre 6 est consacré à une analyse des manuels et des notes de cours autour de cet objet à la lumière de l'étude précédente. Les résultats montrent la variété des choix de présentations pour définir des objets et des structures mathématiques, révélant une sous-estimation de cette complexité et laissant prévoir des difficultés de manipulation des définitions par les étudiants.
Le chapitre 7 est consacré à une seconde expérimentation avec la mise en place d'une situation de résolution d'exercice et un entretien conduits avec des binômes d'étudiants. Cette étude montre des phénomènes didactiques liés à l'alternance des deux types des quantificateurs et aux ostensifs produits par les étudiants. D'autre part des difficultés dans la mobilisation de la définition des objets et des structures illustrent un problème majeur dans le processus de conceptualisation.
Notes :
Cette thèse, réalisée en cotutelle entre l'Institut Supérieur de l'Education et de la Formation Continue (ISEFC, Université de Tunis) et l'Université Claude Bernard Lyon1, a été soutenue le 13 décembre 2004 à Lyon.
Mots clés :
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